Analysis Beispiele

$f (x) = e^{- x} (x^{2} + 2 x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{- x}$ und $g (x) = x^{2} + 2 x$ .

$e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x] + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$e^{- x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{- x} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 1.2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{- x} (2 x + 2 \cdot 1) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.4

Differenziere.

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Schritt 1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Schritt 1.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} \cdot - 1$

Schritt 1.4.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $(x^{2} + 2 x) e^{- x}$ .

$e^{- x} (2 x + 2) - 1 \cdot ((x^{2} + 2 x) e^{- x})$

Schritt 1.4.3.3

Schreibe $- 1 (x^{2} + 2 x)$ als $- (x^{2} + 2 x)$ um.

$e^{- x} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

Schritt 1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x)) e^{- x}$

Schritt 1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

Schritt 1.5.4

Vereine die Terme

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Schritt 1.5.4.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$e^{- x} (2 x) + 2 \cdot e^{- x} - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

Schritt 1.5.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{- x} (2 x) + 2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x}$

Schritt 1.5.4.3

Subtrahiere $2 x e^{- x}$ von $e^{- x} (2 x)$ .

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Schritt 1.5.4.3.1

Bewege $e^{- x}$ .

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} - 2 x e^{- x}$

Schritt 1.5.4.3.2

Subtrahiere $2 x e^{- x}$ von $2 x e^{- x}$ .

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 0$

Schritt 1.5.4.4

Addiere $2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$ und $0$ .

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$

Schritt 1.5.5

Stelle die Terme um.

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$

Schritt 1.5.6

Stelle die Faktoren in $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$ um.

$- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{2} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2} e^{- x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Schritt 2.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Schritt 2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Schritt 2.2.8

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Schritt 2.2.9

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{- x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x))$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x))$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (e^{- x} \cdot - 1)$

Schritt 2.3.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (- 1 \cdot e^{- x})$

Schritt 2.3.7

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (- e^{- x})$

Schritt 2.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) - 2 e^{- x}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) - 2 e^{- x}$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (x^{2} (e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) - 2 e^{- x}$

Schritt 2.4.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - (e^{- x} (2 x)) - 2 e^{- x}$

Schritt 2.4.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x}$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = e^{- x} x^{2} - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x}$

Schritt 2.4.4

Stelle die Faktoren in $e^{- x} x^{2} - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x}$ um.

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

$e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x] + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$e^{- x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{- x} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 4.1.2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 4.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{- x} (2 x + 2 \cdot 1) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 4.1.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 4.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 4.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 4.1.4

Differenziere.

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Schritt 4.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Schritt 4.1.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} \cdot - 1$

Schritt 4.1.4.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $(x^{2} + 2 x) e^{- x}$ .

$e^{- x} (2 x + 2) - 1 \cdot ((x^{2} + 2 x) e^{- x})$

Schritt 4.1.4.3.3

Schreibe $- 1 (x^{2} + 2 x)$ als $- (x^{2} + 2 x)$ um.

$e^{- x} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

Schritt 4.1.5

Vereinfache.

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Schritt 4.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

Schritt 4.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x)) e^{- x}$

Schritt 4.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

Schritt 4.1.5.4

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.5.4.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$e^{- x} (2 x) + 2 \cdot e^{- x} - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

Schritt 4.1.5.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{- x} (2 x) + 2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x}$

Schritt 4.1.5.4.3

Subtrahiere $2 x e^{- x}$ von $e^{- x} (2 x)$ .

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Schritt 4.1.5.4.3.1

Bewege $e^{- x}$ .

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} - 2 x e^{- x}$

Schritt 4.1.5.4.3.2

Subtrahiere $2 x e^{- x}$ von $2 x e^{- x}$ .

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 0$

Schritt 4.1.5.4.4

Addiere $2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$ und $0$ .

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$

Schritt 4.1.5.5

Stelle die Terme um.

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$

Schritt 4.1.5.6

Stelle die Faktoren in $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$ um.

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x} = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $- x^{2} e^{- x}$ heraus.

$e^{- x} (- x^{2}) + 2 e^{- x} = 0$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $2 e^{- x}$ heraus.

$e^{- x} (- x^{2}) + e^{- x} \cdot 2 = 0$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $e^{- x} (- x^{2}) + e^{- x} \cdot 2$ heraus.

$e^{- x} (- x^{2} + 2) = 0$

Schritt 5.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- x^{2} + 2 = 0$

Schritt 5.4

Setze $e^{- x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.1

Setze $e^{- x}$ gleich $0$ .

$e^{- x} = 0$

Schritt 5.4.2

Löse $e^{- x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Schritt 5.4.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 5.4.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{- x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 5.5

Setze $- x^{2} + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.1

Setze $- x^{2} + 2$ gleich $0$ .

$- x^{2} + 2 = 0$

Schritt 5.5.2

Löse $- x^{2} + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 2$

Schritt 5.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 5.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 5.5.2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 5.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 2$

Schritt 5.5.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{2}$

Schritt 5.5.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.5.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2}$

Schritt 5.5.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2}$

Schritt 5.5.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 5.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{- x} (- x^{2} + 2) = 0$ wahr machen.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \sqrt{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

${(\sqrt{2})}^{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 9.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

Schritt 9.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

Schritt 9.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

Schritt 9.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{\frac{2}{2}} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

Schritt 9.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2^{1} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

Schritt 9.1.5

Berechne den Exponenten.

$2 e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

$2 e^{- \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 9.2.1

Subtrahiere $2 e^{- \sqrt{2}}$ von $2 e^{- \sqrt{2}}$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}} + 0$

Schritt 9.2.2

Addiere $- 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$ und $0$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$

Schritt 10

$x = \sqrt{2}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \sqrt{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \sqrt{2}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = e^{- (\sqrt{2})} ({(\sqrt{2})}^{2} + 2 (\sqrt{2}))$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 11.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 (\sqrt{2}))$

Schritt 11.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 (\sqrt{2}))$

Schritt 11.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2^{\frac{2}{2}} + 2 (\sqrt{2}))$

Schritt 11.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2^{\frac{2}{2}} + 2 (\sqrt{2}))$

Schritt 11.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2 + 2 (\sqrt{2}))$

Schritt 11.2.1.5

Berechne den Exponenten.

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2 + 2 (\sqrt{2}))$

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2 + 2 \sqrt{2})$

Schritt 11.2.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 11.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} \cdot 2 + e^{- \sqrt{2}} (2 \sqrt{2})$

Schritt 11.2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{- \sqrt{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = 2 \cdot e^{- \sqrt{2}} + e^{- \sqrt{2}} (2 \sqrt{2})$

Schritt 11.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{- \sqrt{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = 2 e^{- \sqrt{2}} + 2 e^{- \sqrt{2}} \sqrt{2}$

Schritt 11.2.4

Die endgültige Lösung ist $2 e^{- \sqrt{2}} + 2 e^{- \sqrt{2}} \sqrt{2}$ .

$y = 2 e^{- \sqrt{2}} + 2 e^{- \sqrt{2}} \sqrt{2}$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \sqrt{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

${(- \sqrt{2})}^{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

${(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Schritt 13.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {\sqrt{2}}^{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Schritt 13.1.3

Mutltipliziere ${\sqrt{2}}^{2}$ mit $1$ .

${\sqrt{2}}^{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Schritt 13.1.4

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 13.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Schritt 13.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Schritt 13.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Schritt 13.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{\frac{2}{2}} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Schritt 13.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2^{1} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Schritt 13.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$2 e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Schritt 13.1.5

Multipliziere $- (- \sqrt{2})$ .

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Schritt 13.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 e^{1 \sqrt{2}} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Schritt 13.1.5.2

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$2 e^{\sqrt{2}} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Schritt 13.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Schritt 13.1.7

Multipliziere $- (- \sqrt{2})$ .

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Schritt 13.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{1 \sqrt{2}} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Schritt 13.1.7.2

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Schritt 13.1.8

Multipliziere $- (- \sqrt{2})$ .

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Schritt 13.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} - 2 e^{1 \sqrt{2}}$

Schritt 13.1.8.2

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

Schritt 13.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 13.2.1

Subtrahiere $2 e^{\sqrt{2}}$ von $2 e^{\sqrt{2}}$ .

$2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} + 0$

Schritt 13.2.2

Addiere $2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$ und $0$ .

$2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$

Schritt 14

$x = - \sqrt{2}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \sqrt{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \sqrt{2}$ .

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Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{- (- \sqrt{2})} ({(- \sqrt{2})}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.1

Multipliziere $- (- \sqrt{2})$ .

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Schritt 15.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{1 \sqrt{2}} ({(- \sqrt{2})}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Schritt 15.2.1.2

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} ({(- \sqrt{2})}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Schritt 15.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.2.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Schritt 15.2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (1 {\sqrt{2}}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Schritt 15.2.2.3

Mutltipliziere ${\sqrt{2}}^{2}$ mit $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} ({\sqrt{2}}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Schritt 15.2.2.4

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 15.2.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Schritt 15.2.2.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Schritt 15.2.2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2^{\frac{2}{2}} + 2 (- \sqrt{2}))$

Schritt 15.2.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2^{\frac{2}{2}} + 2 (- \sqrt{2}))$

Schritt 15.2.2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2 + 2 (- \sqrt{2}))$

Schritt 15.2.2.4.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2 + 2 (- \sqrt{2}))$

Schritt 15.2.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2 - 2 \sqrt{2})$

Schritt 15.2.3

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} \cdot 2 + e^{\sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2})$

Schritt 15.2.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{\sqrt{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2 e^{\sqrt{2}} + e^{\sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2})$

Schritt 15.2.4

Die endgültige Lösung ist $2 e^{\sqrt{2}} + e^{\sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2})$ .

$y = 2 e^{\sqrt{2}} + e^{\sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2})$

Schritt 16

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = e^{- x} (x^{2} + 2 x)$ .

$(\sqrt{2}, 2 e^{- \sqrt{2}} + 2 e^{- \sqrt{2}} \sqrt{2})$ ist ein lokales Maximum

$(- \sqrt{2}, 2 e^{\sqrt{2}} + e^{\sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2}))$ ist ein lokales Minimum

Schritt 17