Analysis Beispiele

$y = arcsec (\cos (2 x))$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (arcsec (\cos (2 x)))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = arcsec (x)$ und $g (x) = \cos (2 x)$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [arcsec (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $arcsec (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Kombiniere $\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}}$ und $\sin (2 x)$ .

$- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.3.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}}$ .

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \cdot 1$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Stelle $\cos^{2} (2 x)$ und $- 1$ um.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 + \cos^{2} (2 x)}}$

Schritt 3.4.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 (1) + \cos^{2} (2 x)}}$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos^{2} (2 x)$ heraus.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (2 x))}}$

Schritt 3.4.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (2 x))$ heraus.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 (1 - \cos^{2} (2 x))}}$

Schritt 3.4.5

Schreibe $- 1 (1 - \cos^{2} (2 x))$ als $- (1 - \cos^{2} (2 x))$ um.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- (1 - \cos^{2} (2 x))}}$

Schritt 3.4.6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- \sin^{2} (2 x)}}$

Schritt 3.4.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.7.1

Stelle $- 1$ und $\sin^{2} (2 x)$ um.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\sin^{2} (2 x) \cdot - 1}}$

Schritt 3.4.7.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) (\sin (2 x) \sqrt{- 1})}$

Schritt 3.4.7.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sin (2 x) i}$

Schritt 3.4.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (2 x)$ .

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Schritt 3.4.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sin (2 x) i}$

Schritt 3.4.8.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2}{\cos (2 x) i}$

Schritt 3.4.9

Separiere Brüche.

$- (\frac{2}{i} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)})$

Schritt 3.4.10

Wandle von $\frac{1}{\cos (2 x)}$ nach $\sec (2 x)$ um.

$- (\frac{2}{i} \sec (2 x))$

Schritt 3.4.11

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{2}{i}$ mit der Konjugierten von $i$ , um den Nenner reell zu machen.

$- (\frac{2}{i} \cdot \frac{i}{i} \sec (2 x))$

Schritt 3.4.12

Multipliziere.

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Schritt 3.4.12.1

Kombinieren.

$- (\frac{2 i}{i i} \sec (2 x))$

Schritt 3.4.12.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.12.2.1

Potenziere $i$ mit $1$ .

$- (\frac{2 i}{i^{1} i} \sec (2 x))$

Schritt 3.4.12.2.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$- (\frac{2 i}{i^{1} i^{1}} \sec (2 x))$

Schritt 3.4.12.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- (\frac{2 i}{i^{1 + 1}} \sec (2 x))$

Schritt 3.4.12.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- (\frac{2 i}{i^{2}} \sec (2 x))$

Schritt 3.4.12.2.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$- (\frac{2 i}{- 1} \sec (2 x))$

Schritt 3.4.13

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 i}{- 1}$ .

$- (- 1 \cdot (2 i) \sec (2 x))$

Schritt 3.4.14

Schreibe $- 1 \cdot (2 i)$ als $- (2 i)$ um.

$- (- (2 i) \sec (2 x))$

Schritt 3.4.15

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- (- 2 i \sec (2 x))$

Schritt 3.4.16

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$2 i \sec (2 x)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 2 i \sec (2 x)$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 i \sec (2 x)$