Analysis Beispiele

$\int \sqrt{x^{2} + 8 x + 6} d x$

Schritt 1

Wende die quadratische Ergänzung an.

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Schritt 1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 8$

$c = 6$

Schritt 1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{8}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Schritt 1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{4}{1}$

Schritt 1.3.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$d = 4$

Schritt 1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 6 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$e = 6 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 6 - \frac{64}{4}$

Schritt 1.4.2.1.3

Dividiere $64$ durch $4$ .

$e = 6 - 1 \cdot 16$

Schritt 1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$e = 6 - 16$

Schritt 1.4.2.2

Subtrahiere $16$ von $6$ .

$e = - 10$

Schritt 1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x + 4)}^{2} - 10$ ein.

$\int \sqrt{{(x + 4)}^{2} - 10} d x$

Schritt 2

Sei $u = x + 4$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x + 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.1.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \sqrt{u^{2} - 10} d u$

Schritt 3

Sei $u = \sqrt{10} \sec (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d u = \sqrt{10} \sec (t) \tan (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)$ positiv ist.

$\int \sqrt{{(\sqrt{10} \sec (t))}^{2} - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache $\sqrt{{(\sqrt{10} \sec (t))}^{2} - 10}$ .

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Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\sqrt{10} \sec (t)$ an.

$\int \sqrt{{\sqrt{10}}^{2} \sec^{2} (t) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 4.1.1.2

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 4.1.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \sqrt{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec^{2} (t) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 4.1.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{10^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec^{2} (t) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 4.1.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int \sqrt{10^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 4.1.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \sqrt{10^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 4.1.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \sqrt{10^{1} \sec^{2} (t) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 4.1.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$\int \sqrt{10 \sec^{2} (t) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $10$ aus $10 \sec^{2} (t)$ heraus.

$\int \sqrt{10 (\sec^{2} (t)) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $10$ aus $- 10$ heraus.

$\int \sqrt{10 \sec^{2} (t) + 10 \cdot - 1} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 4.1.4

Faktorisiere $10$ aus $10 \sec^{2} (t) + 10 \cdot - 1$ heraus.

$\int \sqrt{10 (\sec^{2} (t) - 1)} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 4.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \sqrt{10 \tan^{2} (t)} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 4.1.6

Stelle $10$ und $\tan^{2} (t)$ um.

$\int \sqrt{\tan^{2} (t) \cdot 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 4.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\int \tan (t) \sqrt{10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$\int \tan^{1} (t) \tan (t) \sqrt{10} (\sqrt{10} \sec (t)) d t$

Schritt 4.2.2

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$\int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sqrt{10} (\sqrt{10} \sec (t)) d t$

Schritt 4.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int {\tan (t)}^{1 + 1} \sqrt{10} (\sqrt{10} \sec (t)) d t$

Schritt 4.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \tan^{2} (t) \sqrt{10} (\sqrt{10} \sec (t)) d t$

Schritt 4.2.5

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\int \tan^{2} (t) ({\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}) \sec (t) d t$

Schritt 4.2.6

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\int \tan^{2} (t) ({\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}) \sec (t) d t$

Schritt 4.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \tan^{2} (t) {\sqrt{10}}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Schritt 4.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \tan^{2} (t) {\sqrt{10}}^{2} \sec (t) d t$

Schritt 4.2.9

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 4.2.9.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \tan^{2} (t) {(10^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec (t) d t$

Schritt 4.2.9.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \tan^{2} (t) \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec (t) d t$

Schritt 4.2.9.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int \tan^{2} (t) \cdot 10^{\frac{2}{2}} \sec (t) d t$

Schritt 4.2.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \tan^{2} (t) \cdot 10^{\frac{2}{2}} \sec (t) d t$

Schritt 4.2.9.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \tan^{2} (t) \cdot 10^{1} \sec (t) d t$

Schritt 4.2.9.5

Berechne den Exponenten.

$\int \tan^{2} (t) \cdot 10 \sec (t) d t$

Schritt 4.2.10

Bringe $10$ auf die linke Seite von $\tan^{2} (t)$ .

$\int 10 \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Schritt 5

Da $10$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $10$ aus dem Integral.

$10 \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Schritt 6

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$10 \int \tan^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Schritt 7

Schreibe $\tan^{2} (t)$ in $- 1 + \sec^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$10 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \sec^{1} (t) d t$

Schritt 8

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$10 \int - 1 \sec^{1} (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Schritt 8.2

Vereinfache jeden Term.

$10 \int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$10 (\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$10 (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 11

Das Integral von $\sec (t)$ nach $t$ ist $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 12

Faktorisiere $\sec (t)$ aus $\sec^{3} (t)$ heraus.

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t)$

Schritt 13

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sec (t)$ und $d v = \sec^{2} (t)$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Schritt 14

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Schritt 15

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Schritt 16

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Schritt 17

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 17.1

Addiere $1$ und $1$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Schritt 17.2

Stelle $\tan^{2} (t)$ und $\sec (t)$ um.

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Schritt 18

Schreibe $\tan^{2} (t)$ in $- 1 + \sec^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Schritt 19

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 19.1

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Schritt 19.2

Wende das Distributivgesetz an.

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Schritt 19.3

Stelle $\sec (t)$ und $- 1$ um.

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Schritt 20

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Schritt 21

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Schritt 22

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Schritt 23

Addiere $1$ und $1$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Schritt 24

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Schritt 25

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Schritt 26

Addiere $2$ und $1$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 27

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Schritt 28

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Schritt 29

Das Integral von $\sec (t)$ nach $t$ ist $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Schritt 30

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 30.1

Wende das Distributivgesetz an.

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 30.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 31

Wenn nach $\int \sec^{3} (t) d t$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Schritt 32

Mutltipliziere $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ mit $1$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Schritt 33

Vereinfache.

$10 \frac{- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) \cdot 2 + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Schritt 34

Vereinfache.

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Schritt 34.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$10 \frac{- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Schritt 34.2

Addiere $- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ und $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$10 \frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Schritt 34.3

Kombiniere $10$ und $\frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}$ .

$\frac{10 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{2} + C$

Schritt 34.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $2$ .

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Schritt 34.4.1

Faktorisiere $2$ aus $10 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))$ heraus.

$\frac{2 (5 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{2} + C$

Schritt 34.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 34.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (5 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{2 (1)} + C$

Schritt 34.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (5 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{2 \cdot 1} + C$

Schritt 34.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{1} + C$

Schritt 34.4.2.4

Dividiere $5 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))$ durch $1$ .

$5 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Schritt 35

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 35.1

Ersetze alle $t$ durch $arcsec (\frac{u}{\sqrt{10}})$ .

$5 (\sec (arcsec (\frac{u}{\sqrt{10}})) \tan (arcsec (\frac{u}{\sqrt{10}})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{u}{\sqrt{10}})) + \tan (arcsec (\frac{u}{\sqrt{10}})) |)) + C$

Schritt 35.2

Ersetze alle $u$ durch $x + 4$ .

$5 (\sec (arcsec (\frac{x + 4}{\sqrt{10}})) \tan (arcsec (\frac{x + 4}{\sqrt{10}})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 4}{\sqrt{10}})) + \tan (arcsec (\frac{x + 4}{\sqrt{10}})) |)) + C$

Schritt 36

Stelle die Terme um.

$5 (\sec (arcsec (\frac{1}{\sqrt{10}} (x + 4))) \tan (arcsec (\frac{1}{\sqrt{10}} (x + 4))) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{1}{\sqrt{10}} (x + 4))) + \tan (arcsec (\frac{1}{\sqrt{10}} (x + 4))) |)) + C$