Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x - 3} d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{2} + 2 x - 3$ . Dann ist $d u = (2 x + 2) d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = (x + 1) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{2} + 2 x - 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{2} + 2 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 2 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $2 x + 2$ und $0$ .

$2 x + 2$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x^{2} + 2 x - 3$ ein.

$u_{lower} = 0^{2} + 2 \cdot 0 - 3$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 0 + 2 \cdot 0 - 3$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 - 3$

Schritt 1.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$u_{lower} = 0 - 3$

Schritt 1.3.3

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$u_{lower} = - 3$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x^{2} + 2 x - 3$ ein.

$u_{upper} = 1^{2} + 2 \cdot 1 - 3$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1 - 3$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2 - 3$

Schritt 1.5.2

Addiere $1$ und $2$ .

$u_{upper} = 3 - 3$

Schritt 1.5.3

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{- 3}^{0} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- 3}^{0} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int_{- 3}^{0} \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{- 3}^{0} \frac{1}{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{- 3}^{0}$

Schritt 5

Berechne $\ln (| u |)$ bei $0$ und $- 3$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 0 |) - \ln (| - 3 |))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 0 |}{| - 3 |})$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (\frac{| 0 |}{| - 3 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 0 |}{| - 3 |})}{2}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$\frac{\ln (\frac{0}{| - 3 |})}{2}$

Schritt 7.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 3$ und $0$ ist $3$ .

$\frac{\ln (\frac{0}{3})}{2}$

Schritt 7.3

Dividiere $0$ durch $3$ .

$\frac{\ln (0)}{2}$

Schritt 7.4

Der natürliche Logarithmus von null ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\ln (0)}{2}$

Schritt 8

Der natürliche Logarithmus von null ist nicht definiert.

Undefiniert