Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} (x + 1) e^{- 2 x} d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x + 1$ und $d v = e^{- 2 x}$ .

$(x + 1) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{1}{2}$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{1}{2}$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - - \int_{1}^{2} \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + 1 \int_{1}^{2} \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\int_{1}^{2} \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ mit $1$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{1}^{2} e^{- 2 x} d x$

Schritt 6

Sei $u = - 2 x$ . Dann ist $d u = - 2 d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = - 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 6.1.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2$

Schritt 6.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = - 2 x$ ein.

$u_{lower} = - 2 \cdot 1$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$u_{lower} = - 2$

Schritt 6.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = - 2 x$ ein.

$u_{upper} = - 2 \cdot 2$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$u_{upper} = - 4$

Schritt 6.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 4$

Schritt 6.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 7.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{- 2}^{- 4} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} (- \int_{- 2}^{- 4} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Schritt 9

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} d u))$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} d u$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \frac{1}{4} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} d u$

Schritt 11

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \frac{1}{4} e^{u}]_{- 2}^{- 4}$

Schritt 12

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 12.1

Berechne $(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})$ bei $2$ und $1$ .

$((2 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 2}}{2})) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} e^{u}]_{- 2}^{- 4}$

Schritt 12.2

Berechne $e^{u}$ bei $- 4$ und $- 2$ .

$((2 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 2}}{2})) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Schritt 12.3

Vereinfache.

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Schritt 12.3.1

Addiere $2$ und $1$ .

$3 (- \frac{e^{- 2 \cdot 2}}{2}) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Schritt 12.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$3 (- \frac{e^{- 4}}{2}) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Schritt 12.3.3

Bringe $e^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{1}{2 e^{4}}) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Schritt 12.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 \frac{1}{2 e^{4}} - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Schritt 12.3.5

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2 e^{4}}$ .

$\frac{- 3}{2 e^{4}} - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Schritt 12.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{2 e^{4}} - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Schritt 12.3.7

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{3}{2 e^{4}} - 1 \cdot 2 (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Schritt 12.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{3}{2 e^{4}} - 2 (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Schritt 12.3.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- \frac{3}{2 e^{4}} - 2 (- \frac{e^{- 2}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Schritt 12.3.10

Bringe $e^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{2 e^{4}} - 2 (- \frac{1}{2 e^{2}}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Schritt 12.3.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$- \frac{3}{2 e^{4}} + 2 \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Schritt 12.3.12

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{3}{2 e^{4}} + \frac{2}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Schritt 12.3.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.3.13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3}{2 e^{4}} + \frac{2}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Schritt 12.3.13.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3}{2 e^{4}} + \frac{1}{e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Schritt 12.3.14

Um $- \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 e^{4}}{2 e^{4}}$ .

$\frac{1}{e^{2}} - \frac{3}{2 e^{4}} - \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2}) \cdot \frac{2 e^{4}}{2 e^{4}}$

Schritt 12.3.15

Kombiniere $- \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})$ und $\frac{2 e^{4}}{2 e^{4}}$ .

$\frac{1}{e^{2}} - \frac{3}{2 e^{4}} + \frac{- \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2}) (2 e^{4})}{2 e^{4}}$

Schritt 12.3.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2}) (2 e^{4})}{2 e^{4}}$

Schritt 12.3.17

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - 2 (\frac{1}{4}) (e^{- 4} - e^{- 2}) e^{4}}{2 e^{4}}$

Schritt 12.3.18

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{- 2}{4} (e^{- 4} - e^{- 2}) e^{4}}{2 e^{4}}$

Schritt 12.3.19

Kombiniere $e^{4}$ und $\frac{- 2}{4}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{e^{4} \cdot - 2}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Schritt 12.3.20

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $e^{4}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{- 2 \cdot e^{4}}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Schritt 12.3.21

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 12.3.21.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 e^{4}$ heraus.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{2 (- e^{4})}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Schritt 12.3.21.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.3.21.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{2 (- e^{4})}{2 (2)} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Schritt 12.3.21.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{2 (- e^{4})}{2 \cdot 2} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Schritt 12.3.21.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{- e^{4}}{2} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Schritt 12.3.22

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{4}}{2} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{4}}{2} e^{- 4} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Schritt 13.1.1.2

Multipliziere $- \frac{e^{4}}{2} e^{- 4}$ .

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Schritt 13.1.1.2.1

Kombiniere $e^{- 4}$ und $\frac{e^{4}}{2}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{- 4} e^{4}}{2} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Schritt 13.1.1.2.2

Multipliziere $e^{- 4}$ mit $e^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.1.1.2.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{- 4 + 4}}{2} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Schritt 13.1.1.2.2.2

Addiere $- 4$ und $4$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{0}}{2} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Schritt 13.1.1.2.3

Vereinfache $e^{0}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Schritt 13.1.1.3

Multipliziere $- \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})$ .

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Schritt 13.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + 1 \frac{e^{4}}{2} e^{- 2}}{2 e^{4}}$

Schritt 13.1.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{e^{4}}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + \frac{e^{4}}{2} e^{- 2}}{2 e^{4}}$

Schritt 13.1.1.3.3

Kombiniere $\frac{e^{4}}{2}$ und $e^{- 2}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + \frac{e^{4} e^{- 2}}{2}}{2 e^{4}}$

Schritt 13.1.1.3.4

Multipliziere $e^{4}$ mit $e^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.1.1.3.4.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + \frac{e^{4 - 2}}{2}}{2 e^{4}}$

Schritt 13.1.1.3.4.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

Schritt 13.1.1.4

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

Schritt 13.1.1.5

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

Schritt 13.1.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 3 \cdot 2 - 1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

Schritt 13.1.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1.1.7.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 6 - 1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

Schritt 13.1.1.7.2

Subtrahiere $1$ von $- 6$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 7}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

Schritt 13.1.1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 7 + e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

Schritt 13.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 7 + e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{4}}$

Schritt 13.1.3

Multipliziere $\frac{- 7 + e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{4}}$ .

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Schritt 13.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{- 7 + e^{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2 e^{4}}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 7 + e^{2}}{2 (2 e^{4})}$

Schritt 13.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Schritt 13.2

Um $\frac{1}{e^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4 e^{2}}{4 e^{2}}$ .

$\frac{1}{e^{2}} \cdot \frac{4 e^{2}}{4 e^{2}} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Schritt 13.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4 e^{4}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 13.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{e^{2}}$ mit $\frac{4 e^{2}}{4 e^{2}}$ .

$\frac{4 e^{2}}{e^{2} (4 e^{2})} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Schritt 13.3.2

Multipliziere $e^{2}$ mit $e^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.3.2.1

Bewege $e^{2}$ .

$\frac{4 e^{2}}{e^{2} e^{2} \cdot 4} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Schritt 13.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 e^{2}}{e^{2 + 2} \cdot 4} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Schritt 13.3.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{4 e^{2}}{e^{4} \cdot 4} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Schritt 13.3.3

Stelle die Faktoren von $e^{4} \cdot 4$ um.

$\frac{4 e^{2}}{4 e^{4}} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Schritt 13.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 e^{2} - 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Schritt 13.5

Addiere $4 e^{2}$ und $e^{2}$ .

$\frac{5 e^{2} - 7}{4 e^{4}}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{5 e^{2} - 7}{4 e^{4}}$

Dezimalform:

$0.13711673 \dots$

Schritt 15