Analysis Beispiele

$\sqrt{3 x^{3}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x^{3}}]$ als $\frac{d}{d x} [x \sqrt{3 x}]$ um.

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Schritt 1.1

Schreibe $3 x^{3}$ als $x^{2} \cdot (3 x)$ um.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3 (x^{2} x)}]$

Schritt 1.1.2

Stelle $3$ und $x^{2}$ um.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} \cdot 3 x}]$

Schritt 1.1.3

Füge Klammern hinzu.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} \cdot (3 x)}]$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{3 x}]$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 x}$ als ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x {(3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [x {(3 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4

Wende die Produktregel auf $3 (x)$ an.

$\frac{d}{d x} [x (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} (x^{1} x^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{1 + \frac{1}{2}}]$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Schritt 7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Schritt 7.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 8

Da $3^{\frac{1}{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Schritt 10

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 11

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Schritt 13.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 14

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3^{\frac{1}{2}} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 15

Kombiniere $3^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Schritt 16

Multipliziere $3^{\frac{1}{2}}$ mit $3$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 16.1

Bewege $3$ .

$\frac{3 \cdot 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 16.2

Mutltipliziere $3$ mit $3^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 16.2.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 16.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3^{1 + \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 16.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 16.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3^{\frac{2 + 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 16.5

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$