Analysis Beispiele

$y = arctanh (1 - 2 x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = arctanh (x)$ und $g (x) = 1 - 2 x$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [arctanh (u)] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $arctanh (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 - u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 - u^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - 2 x$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.5.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \cdot 1$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- \frac{2}{1^{2} - {(1 - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = 1 - 2 x$ .

$- \frac{2}{(1 + 1 - 2 x) (1 - (1 - 2 x))}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.1.3.1

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{2}{(2 - 2 x) (1 - (1 - 2 x))}$

Schritt 3.1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2 - 2 x$ heraus.

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Schritt 3.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{2}{(2 (1) - 2 x) (1 - (1 - 2 x))}$

Schritt 3.1.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$- \frac{2}{(2 (1) + 2 (- x)) (1 - (1 - 2 x))}$

Schritt 3.1.3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (- x)$ heraus.

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - (1 - 2 x))}$

Schritt 3.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - 1 \cdot 1 - (- 2 x))}$

Schritt 3.1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - 1 - (- 2 x))}$

Schritt 3.1.3.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - 1 + 2 x)}$

Schritt 3.1.3.6

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) (0 + 2 x)}$

Schritt 3.1.3.7

Addiere $0$ und $2 x$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) \cdot 2 x}$

Schritt 3.1.3.8

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{2}{4 (1 - x) x}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{2 (1)}{4 (1 - x) x}$

Schritt 3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 (1 - x) x$ heraus.

$- \frac{2 (1)}{2 (2 (1 - x) x)}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 (2 (1 - x) x)}$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2 (1 - x) x}$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren in $- \frac{1}{2 (1 - x) x}$ um.

$- \frac{1}{2 x (1 - x)}$