Analysis Beispiele

$\int_{0}^{2} (4 x + 5) e^{- x} d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = 4 x + 5$ und $d v = e^{- x}$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} - e^{- x} \cdot 4 d x$

Schritt 2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} - 4 e^{- x} d x$

Schritt 3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - (- 4 \int_{0}^{2} e^{- x} d x)$

Schritt 4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} + 4 \int_{0}^{2} e^{- x} d x$

Schritt 5

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 5.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 5.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = - x$ ein.

$u_{lower} = - 0$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 5.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = - x$ ein.

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$u_{upper} = - 2$

Schritt 5.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Schritt 5.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} + 4 \int_{0}^{- 2} - e^{u} d u$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} + 4 (- \int_{0}^{- 2} e^{u} d u)$

Schritt 7

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - 4 \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

Schritt 8

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - 4 (e^{u}]_{0}^{- 2})$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Berechne $(4 x + 5) (- e^{- x})$ bei $2$ und $0$ .

$((4 \cdot 2 + 5) (- e^{- 1 \cdot 2})) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 (e^{u}]_{0}^{- 2})$

Schritt 9.2

Berechne $e^{u}$ bei $- 2$ und $0$ .

$((4 \cdot 2 + 5) (- e^{- 1 \cdot 2})) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Schritt 9.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$(8 + 5) (- e^{- 1 \cdot 2}) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Schritt 9.3.2

Addiere $8$ und $5$ .

$13 (- e^{- 1 \cdot 2}) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Schritt 9.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$13 (- e^{- 2}) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Schritt 9.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $13$ .

$- 13 e^{- 2} - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Schritt 9.3.5

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$- 13 e^{- 2} - (0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Schritt 9.3.6

Addiere $0$ und $5$ .

$- 13 e^{- 2} - 1 \cdot 5 (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Schritt 9.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 13 e^{- 2} - 5 (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Schritt 9.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- 13 e^{- 2} - 5 (- e^{0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Schritt 9.3.9

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- 13 e^{- 2} - 5 (- 1 \cdot 1) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Schritt 9.3.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 13 e^{- 2} - 5 \cdot - 1 - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Schritt 9.3.11

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$- 13 e^{- 2} + 5 - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Schritt 9.3.12

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- 13 e^{- 2} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 9.3.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 13 e^{- 2} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

Schritt 10

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 13 \frac{1}{e^{2}} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

Schritt 10.1.2

Kombiniere $- 13$ und $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{- 13}{e^{2}} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

Schritt 10.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

Schritt 10.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 e^{- 2} - 4 \cdot - 1$

Schritt 10.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 e^{- 2} + 4$

Schritt 10.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 \frac{1}{e^{2}} + 4$

Schritt 10.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{e^{2}}$ .

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 + \frac{- 4}{e^{2}} + 4$

Schritt 10.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - \frac{4}{e^{2}} + 4$

Schritt 10.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 + 4 + \frac{- 13 - 4}{e^{2}}$

Schritt 10.4

Subtrahiere $4$ von $- 13$ .

$5 + 4 + \frac{- 17}{e^{2}}$

Schritt 10.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 + 4 - \frac{17}{e^{2}}$

Schritt 10.6

Addiere $5$ und $4$ .

$9 - \frac{17}{e^{2}}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$9 - \frac{17}{e^{2}}$

Dezimalform:

$6.69930018 \dots$

Schritt 12