Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- x^{3}} d x$

Schritt 1

Schreibe das Integral als Grenzwert, wenn sich $t$ an $\infty$ annähert.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x^{2} e^{- x^{3}} d x$

Schritt 2

Sei $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . Dann ist $d u_{2} = - 3 x^{2} e^{- x^{3}} d x$ , folglich $- \frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{- x^{3}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $e^{- x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{3}}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x^{3}$ .

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Schritt 2.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x^{3}$ .

$e^{- x^{3}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{- x^{3}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$e^{- x^{3}} (- (3 x^{2}))$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Stelle die Faktoren von $e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$ um.

$- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$

Schritt 2.1.4.2

Stelle die Faktoren in $- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$ um.

$- 3 x^{2} e^{- x^{3}}$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{2} = e^{- x^{3}}$ ein.

$u_{lower} = e^{- 0^{3}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = e^{- 0}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Schritt 2.3.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{2} = e^{- x^{3}}$ ein.

$u_{upper} = e^{- t^{3}}$

Schritt 2.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{- t^{3}}$

Schritt 2.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{3}}} \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Schritt 3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{3}}} - \frac{1}{3} d u_{2}$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{3} u_{2}]_{1}^{e^{- t^{3}}}$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $- \frac{1}{3} u_{2}$ bei $e^{- t^{3}}$ und $1$ .

$lim_{t \to \infty} (- \frac{1}{3} e^{- t^{3}}) + \frac{1}{3} \cdot 1$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $e^{- t^{3}}$ und $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{3}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{3}}}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Vereinige Brüche unter Anwendung eines gemeinsamen Nenners.

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Schritt 6.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{t \to \infty} \frac{- e^{- t^{3}} + 1}{3}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- e^{- t^{3}}$ heraus.

$lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{3}}) + 1}{3}$

Schritt 6.1.3

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{3}}) - 1 (- 1)}{3}$

Schritt 6.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (e^{- t^{3}}) - 1 (- 1)$ heraus.

$lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{3}} - 1)}{3}$

Schritt 6.1.5

Schreibe $- (e^{- t^{3}} - 1)$ als $- 1 (e^{- t^{3}} - 1)$ um.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (e^{- t^{3}} - 1)}{3}$

Schritt 6.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{3}} - 1}{3}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.2.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$- lim_{t \to \infty} \frac{e^{- t^{3}} - 1}{3}$

Schritt 6.2.2

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$- \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} e^{- t^{3}} - 1$

Schritt 6.2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$- \frac{1}{3} (lim_{t \to \infty} e^{- t^{3}} - lim_{t \to \infty} 1)$

Schritt 6.3

Da der Exponent $- t^{3}$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{- t^{3}}$ $0$ an.

$- \frac{1}{3} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Schritt 6.4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.4.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $\infty$ annähert.

$- \frac{1}{3} (0 - 1 \cdot 1)$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{3} (0 - 1)$

Schritt 6.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot - 1$

Schritt 6.4.2.3

Multipliziere $- \frac{1}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 6.4.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{3})$

Schritt 6.4.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{3}$

Dezimalform:

$0.\overline{3}$