Analysis Beispiele

$y = \sqrt{5 - 2 e^{3 x}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 - 2 e^{3 x}}$ als ${(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 5 - 2 e^{3 x}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $5 - 2 e^{3 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $5 - 2 e^{3 x}$ .

$\frac{1}{2} {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(5 - 2 e^{3 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(5 - 2 e^{3 x})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(5 - 2 e^{3 x})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

Schritt 7.3

Bringe ${(5 - 2 e^{3 x})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

Schritt 8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - 2 e^{3 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}]$ .

$\frac{1}{2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}])$

Schritt 9

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}])$

Schritt 10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}]$ .

$\frac{1}{2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}]$

Schritt 11

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 e^{3 x}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$\frac{1}{2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

Schritt 12

Vereinfache Terme.

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Schritt 12.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Schritt 12.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Schritt 13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 ({(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Schritt 13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Schritt 14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Schritt 15

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 15.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x$ .

$- \frac{1}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 15.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- \frac{1}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 15.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x$ .

$- \frac{1}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 16

Differenziere.

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Schritt 16.1

Kombiniere $e^{3 x}$ und $\frac{1}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{e^{3 x}}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 16.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{e^{3 x}}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 16.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 16.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 \frac{e^{3 x}}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 16.3.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{e^{3 x}}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 3 e^{3 x}}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 16.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 e^{3 x}}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 16.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{3 e^{3 x}}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Schritt 16.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{3 e^{3 x}}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$