Analysis Beispiele

$\int 2 x e^{- 2 x} d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int x e^{- 2 x} d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{- 2 x}$ .

$2 (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Schritt 3.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Schritt 3.3

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ mit $1$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Schritt 7

Sei $u = - 2 x$ . Dann ist $d u = - 2 d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u = - 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 7.1.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Schritt 8.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

Schritt 10

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Schritt 12

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Schreibe $2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ als $2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ um.

$2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Schritt 13.2

Vereinfache.

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Schritt 13.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Schritt 13.2.2

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{x}{2}$ .

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Schritt 13.2.3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{4}$ .

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $- 2 x$ .

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2}) + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Schritt 15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{- 2 x} x}{2}$ in den Zähler.

$2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Schritt 15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Schritt 15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- e^{- 2 x} x + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Schritt 15.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{- 2 x}}{4}$ in den Zähler.

$- e^{- 2 x} x + 2 \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

Schritt 15.3.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- e^{- 2 x} x + 2 \frac{- e^{- 2 x}}{2 (2)} + C$

Schritt 15.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- e^{- 2 x} x + 2 \frac{- e^{- 2 x}}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 15.3.4

Forme den Ausdruck um.

$- e^{- 2 x} x + \frac{- e^{- 2 x}}{2} + C$

Schritt 15.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- e^{- 2 x} x - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Schritt 15.5

Vereinige $- e^{- 2 x} x$ und $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$ mithilfe eines gemeinsamen Nenners.

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Schritt 15.5.1

Bewege $e^{- 2 x}$ .

$- x e^{- 2 x} - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Schritt 15.5.2

Um $- x e^{- 2 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- x e^{- 2 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Schritt 15.5.3

Kombiniere $- x e^{- 2 x}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- x e^{- 2 x} \cdot 2}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Schritt 15.5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x e^{- 2 x} \cdot 2 - e^{- 2 x}}{2} + C$

Schritt 15.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.6.1

Faktorisiere $e^{- 2 x}$ aus $- x e^{- 2 x} \cdot 2 - e^{- 2 x}$ heraus.

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Schritt 15.6.1.1

Faktorisiere $e^{- 2 x}$ aus $- x e^{- 2 x} \cdot 2$ heraus.

$\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2) - e^{- 2 x}}{2} + C$

Schritt 15.6.1.2

Faktorisiere $e^{- 2 x}$ aus $- e^{- 2 x}$ heraus.

$\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot - 1}{2} + C$

Schritt 15.6.1.3

Faktorisiere $e^{- 2 x}$ aus $e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot - 1$ heraus.

$\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2 - 1)}{2} + C$

Schritt 15.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{2} + C$

Schritt 15.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x) - 1)}{2} + C$

Schritt 15.8

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x) - 1 (1))}{2} + C$

Schritt 15.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x + 1))}{2} + C$

Schritt 15.10

Schreibe $- (2 x + 1)$ als $- 1 (2 x + 1)$ um.

$\frac{e^{- 2 x} (- 1 (2 x + 1))}{2} + C$

Schritt 15.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + C$

Schritt 16

Entferne die Klammern.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x + 1) + C$