Analysis Beispiele

$\sum_{k = 5}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot 2 k$

Schritt 1

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $k$ gleich $1$ ist.

$\sum_{k = 5}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k) = \sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k) - \sum_{k = 1}^{4} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$

Schritt 2

Berechne $\sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus der Summe raus.

$(2) \sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} k$

Schritt 2.2

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $k$ .

${(- 1)}^{1} \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + \dots + {(- 1)}^{12} \cdot (2 \cdot 12)$

Schritt 2.3

Vereinfache die ausmultiplzierte Form.

$12$

Schritt 3

Berechne $\sum_{k = 1}^{4} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$ .

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Schritt 3.1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $k$ .

${(- 1)}^{1} \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 1 \cdot 2 + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Schritt 3.2.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 + 1 \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- 2 + 1 \cdot 4 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $1$ mit $4$ .

$- 2 + 4 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Schritt 3.2.7

Addiere $- 2$ und $4$ .

$2 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Schritt 3.2.8

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$2 - 1 \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Schritt 3.2.9

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$2 - 1 \cdot 6 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Schritt 3.2.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$2 - 6 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Schritt 3.2.11

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$- 4 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Schritt 3.2.12

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 + 1 \cdot (2 \cdot 4)$

Schritt 3.2.13

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$- 4 + 1 \cdot 8$

Schritt 3.2.14

Mutltipliziere $1$ mit $8$ .

$- 4 + 8$

Schritt 3.2.15

Addiere $- 4$ und $8$ .

$4$

Schritt 4

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$12 - 4$

Schritt 5

Subtrahiere $4$ von $12$ .

$8$