Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{(x - 3) (x^{2} - 2)}{x^{2} + 1}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} (x - 3) (x^{2} - 2)}{lim_{x \to 1} x^{2} + 1}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x - 3 \cdot lim_{x \to 1} x^{2} - 2}{lim_{x \to 1} x^{2} + 1}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{(lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 3) \cdot lim_{x \to 1} x^{2} - 2}{lim_{x \to 1} x^{2} + 1}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3) \cdot lim_{x \to 1} x^{2} - 2}{lim_{x \to 1} x^{2} + 1}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3) \cdot (lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} x^{2} + 1}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} x^{2} + 1}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x^{2} + 1}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 9

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 2)}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 2)}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 1}$

Schritt 11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{(1 - 1 \cdot 3) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 2)}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 1}$

Schritt 11.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{(1 - 1 \cdot 3) \cdot (1^{2} - 1 \cdot 2)}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 1}$

Schritt 11.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{(1 - 1 \cdot 3) \cdot (1^{2} - 1 \cdot 2)}{1^{2} + 1}$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{(1 - 3) (1^{2} - 1 \cdot 2)}{1^{2} + 1}$

Schritt 12.1.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{- 2 (1^{2} - 1 \cdot 2)}{1^{2} + 1}$

Schritt 12.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{- 2 (1 - 1 \cdot 2)}{1^{2} + 1}$

Schritt 12.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2 (1 - 2)}{1^{2} + 1}$

Schritt 12.1.5

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{- 2 \cdot - 1}{1^{2} + 1}$

Schritt 12.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{- 2 \cdot - 1}{1 + 1}$

Schritt 12.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 2 \cdot - 1}{2}$

Schritt 12.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{2}{2}$

Schritt 12.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$1$