Analysis Beispiele

$x^{2} e^{k x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = e^{k x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{k x}] + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = k x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $k x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $k x$ .

$x^{2} (e^{k x} \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $k$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $k x$ nach $x$ gleich $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{k x} (k \frac{d}{d x} [x])) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} (e^{k x} (k \cdot 1)) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $k$ mit $1$ .

$x^{2} (e^{k x} k) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (e^{k x} k) + e^{k x} (2 x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$e^{k x} x^{2} k + 2 e^{k x} x$

Schritt 4.2

Stelle die Faktoren in $e^{k x} x^{2} k + 2 e^{k x} x$ um.

$x^{2} k e^{k x} + 2 x e^{k x}$