Analysis Beispiele

$f (x) = x^{\frac{2}{3}} - 4 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{2}{3}} - 4 x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.1.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.1.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.1.2.5.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.1.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 4 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Schritt 1.1.1.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 1.1.1.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.1.1.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.1.1.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Schritt 1.1.1.3.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Schritt 1.1.1.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 4 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 1.1.1.3.8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 4 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 1.1.1.3.9

Kombiniere $- 4$ und $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{- 4 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 1.1.1.3.10

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{- 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.1.3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 1.1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 1.1.2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ als ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 1.1.2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 1.1.2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 1.1.2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 1.1.2.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 1.1.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 1.1.2.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.1.2.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 1.1.2.2.5.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 1.1.2.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 1.1.2.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 1.1.2.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 1.1.2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 1.1.2.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 1.1.2.2.9.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 1.1.2.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 1.1.2.2.11

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 1.1.2.2.12

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 1.1.2.2.13

Multipliziere $x^{- \frac{2}{3}}$ mit $x^{- \frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.2.13.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 1.1.2.2.13.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 1.1.2.2.13.3

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 1.1.2.2.13.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 1.1.2.2.14

Bringe $x^{- \frac{4}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 1.1.2.2.15

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 (3 x^{\frac{4}{3}})} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 1.1.2.2.16

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 1.1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Da $- \frac{4}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ als ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$

Schritt 1.1.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 1.1.2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))$

Schritt 1.1.2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.1.2.3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.1.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Schritt 1.1.2.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.1.2.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Schritt 1.1.2.3.5.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Schritt 1.1.2.3.5.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Schritt 1.1.2.3.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Schritt 1.1.2.3.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Schritt 1.1.2.3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Schritt 1.1.2.3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Schritt 1.1.2.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Schritt 1.1.2.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Schritt 1.1.2.3.9.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Schritt 1.1.2.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Schritt 1.1.2.3.11

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Schritt 1.1.2.3.12

Kombiniere $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ und $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Schritt 1.1.2.3.13

Multipliziere $x^{- \frac{1}{3}}$ mit $x^{- \frac{4}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.3.13.1

Bewege $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Schritt 1.1.2.3.13.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Schritt 1.1.2.3.13.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Schritt 1.1.2.3.13.4

Subtrahiere $1$ von $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Schritt 1.1.2.3.13.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Schritt 1.1.2.3.14

Bringe $x^{- \frac{5}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Schritt 1.1.2.3.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} + 1 (\frac{4}{3}) \cdot \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 1.1.2.3.16

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 1.1.2.3.17

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{4 \cdot 2}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Schritt 1.1.2.3.18

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{8}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Schritt 1.1.2.3.19

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 1.1.2.4

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$

Schritt 1.2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$9 x^{\frac{5}{3}}, 9 x^{\frac{4}{3}}, 1$

Schritt 1.2.2.2

Since $9 x^{\frac{5}{3}}, 9 x^{\frac{4}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $9, 9, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{5}{3}}, x^{\frac{4}{3}}$ .

Schritt 1.2.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 1.2.2.4

$9$ hat Faktoren von $3$ und $3$ .

$3 \cdot 3$

Schritt 1.2.2.5

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 1.2.2.6

Das kgV von $9, 9, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$3 \cdot 3$

Schritt 1.2.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9$

Schritt 1.2.2.8

Das kgV von $x^{\frac{5}{3}}, x^{\frac{4}{3}}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x^{\frac{5}{3}}$

Schritt 1.2.2.9

Das kgV von $9 x^{\frac{5}{3}}, 9 x^{\frac{4}{3}}, 1$ ist der numerische Teil $9$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$9 x^{\frac{5}{3}}$

Schritt 1.2.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ mit $9 x^{\frac{5}{3}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 1.2.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ mit $9 x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$9 \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8}{x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{5}{3}}$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8}{x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$8 - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{4}{3}} \cdot 9$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$ in den Zähler.

$8 + \frac{- 2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.4.2

Faktorisiere $x^{\frac{4}{3}} \cdot 9$ aus $9 x^{\frac{4}{3}}$ heraus.

$8 + \frac{- 2}{x^{\frac{4}{3}} \cdot 9 (1)} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.4.3

Faktorisiere $x^{\frac{4}{3}} \cdot 9$ aus $9 x^{\frac{5}{3}}$ heraus.

$8 + \frac{- 2}{x^{\frac{4}{3}} \cdot 9 (1)} (x^{\frac{4}{3}} \cdot 9 (x^{\frac{1}{3}})) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 + \frac{- 2}{x^{\frac{4}{3}} \cdot 9 \cdot 1} (x^{\frac{4}{3}} \cdot 9 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.4.5

Forme den Ausdruck um.

$8 - 2 x^{\frac{1}{3}} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Multipliziere $0 (9 x^{\frac{5}{3}})$ .

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Schritt 1.2.3.3.1.1

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

$8 - 2 x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{5}{3}}$

Schritt 1.2.3.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x^{\frac{5}{3}}$ .

$8 - 2 x^{\frac{1}{3}} = 0$

Schritt 1.2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.4.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{\frac{1}{3}} = - 8$

Schritt 1.2.4.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(- 2 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 8)}^{3}$

Schritt 1.2.4.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 1.2.4.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.3.1.1

Vereinfache ${(- 2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.2.4.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- 2 x^{\frac{1}{3}}$ an.

${(- 2)}^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 8)}^{3}$

Schritt 1.2.4.3.1.1.2

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$- 8 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 8)}^{3}$

Schritt 1.2.4.3.1.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.2.4.3.1.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 8)}^{3}$

Schritt 1.2.4.3.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.4.3.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 8)}^{3}$

Schritt 1.2.4.3.1.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 8 x^{1} = {(- 8)}^{3}$

Schritt 1.2.4.3.1.1.4

Vereinfache.

$- 8 x = {(- 8)}^{3}$

Schritt 1.2.4.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.3.2.1

Potenziere $- 8$ mit $3$ .

$- 8 x = - 512$

Schritt 1.2.4.4

Teile jeden Ausdruck in $- 8 x = - 512$ durch $- 8$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 8 x = - 512$ durch $- 8$ .

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- 512}{- 8}$

Schritt 1.2.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 8$ .

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Schritt 1.2.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- 512}{- 8}$

Schritt 1.2.4.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 512}{- 8}$

Schritt 1.2.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.4.3.1

Dividiere $- 512$ durch $- 8$ .

$x = 64$

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = x^{\frac{2}{3}} - 4 x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 2.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 2.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\sqrt[3]{x^{2}} - 4 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.1.2

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\sqrt[3]{x^{2}} - 4 \sqrt[3]{x^{1}}$

Schritt 2.1.3

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\sqrt[3]{x^{2}} - 4 \sqrt[3]{x}$

Schritt 2.2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 64) \cup (64, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, 64)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$f'' (0) = \frac{8}{9 {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0) = \frac{8}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}} - \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (0) = \frac{8}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}} - \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (0) = \frac{8}{9 \cdot 0^{5}} - \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = \frac{8}{9 \cdot 0} - \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

$f'' (0) = \frac{8}{0} - \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 4.4.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

$f'' (0) = Undefined$

$f'' (0) = \frac{8}{0} - \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 4.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

$f'' (0) = Undefined$

Schritt 4.6

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, 64)$ konvex, weil $f'' (0)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, 64)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(64, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $66$ .

$f'' (66) = \frac{8}{9 {(66)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 {(66)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Entferne die Klammern.

$f'' (66) = \frac{8}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 \cdot 66^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 5.2.2

Um $- \frac{2}{9 \cdot 66^{\frac{4}{3}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{66^{\frac{1}{3}}}{66^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (66) = \frac{8}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 \cdot 66^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{66^{\frac{1}{3}}}{66^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{9 \cdot 66^{\frac{4}{3}}}$ mit $\frac{66^{\frac{1}{3}}}{66^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (66) = \frac{8}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}} - \frac{2 \cdot 66^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 66^{\frac{4}{3}} \cdot 66^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.2.3.2

Multipliziere $66^{\frac{4}{3}}$ mit $66^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.3.2.1

Bewege $66^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (66) = \frac{8}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}} - \frac{2 \cdot 66^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot (66^{\frac{1}{3}} \cdot 66^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 5.2.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (66) = \frac{8}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}} - \frac{2 \cdot 66^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 66^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}}}$

Schritt 5.2.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (66) = \frac{8}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}} - \frac{2 \cdot 66^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 66^{\frac{1 + 4}{3}}}$

Schritt 5.2.3.2.4

Addiere $1$ und $4$ .

$f'' (66) = \frac{8}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}} - \frac{2 \cdot 66^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (66) = \frac{8 - 2 \cdot 66^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 5.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{8 - 2 \cdot 66^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{8 - 2 \cdot 66^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(64, \infty)$ konkav, weil $f'' (66)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(64, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 6

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, 64)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(64, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 7