Analysis Beispiele

$\int \frac{5 x e^{3 x^{2}}}{\sqrt{2 - 3 e^{3 x^{2}}}} d x$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int \frac{x e^{3 x^{2}}}{\sqrt{2 - 3 e^{3 x^{2}}}} d x$

Schritt 2

Sei $u_{2} = 2 - 3 e^{3 x^{2}}$ . Dann ist $d u_{2} = - 18 x e^{3 x^{2}} d x$ , folglich $- \frac{1}{18} d u_{2} = x e^{3 x^{2}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{2} = 2 - 3 e^{3 x^{2}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $2 - 3 e^{3 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 - 3 e^{3 x^{2}}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - 3 e^{3 x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{3 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{3 x^{2}}]$

Schritt 2.1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 e^{3 x^{2}}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 e^{3 x^{2}}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 e^{3 x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [e^{3 x^{2}}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [e^{3 x^{2}}]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x^{2}$ .

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Schritt 2.1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $3 x^{2}$ .

$0 - 3 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Schritt 2.1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$0 - 3 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Schritt 2.1.3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 x^{2}$ .

$0 - 3 (e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Schritt 2.1.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 3 (e^{3 x^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Schritt 2.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - 3 (e^{3 x^{2}} (3 (2 x)))$

Schritt 2.1.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$0 - 3 (e^{3 x^{2}} (6 x))$

Schritt 2.1.3.6

Mutltipliziere $6$ mit $- 3$ .

$0 - 18 e^{3 x^{2}} x$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Subtrahiere $18 e^{3 x^{2}} x$ von $0$ .

$- 18 e^{3 x^{2}} x$

Schritt 2.1.4.2

Stelle die Faktoren in $- 18 e^{3 x^{2}} x$ um.

$- 18 x e^{3 x^{2}}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$5 \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} \cdot \frac{1}{- 18} d u_{2}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} (- \frac{1}{18}) d u_{2}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u_{2}}}$ mit $\frac{1}{18}$ .

$5 \int - \frac{1}{\sqrt{u_{2}} \cdot 18} d u_{2}$

Schritt 3.3

Bringe $18$ auf die linke Seite von $\sqrt{u_{2}}$ .

$5 \int - \frac{1}{18 \sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$5 (- \int \frac{1}{18 \sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Schritt 5

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 5 \int \frac{1}{18 \sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Schritt 6

Da $\frac{1}{18}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{18}$ aus dem Integral.

$- 5 (\frac{1}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Kombiniere $\frac{1}{18}$ und $- 5$ .

$\frac{- 5}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Schritt 7.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Schritt 7.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{2}}$ als ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{5}{18} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Schritt 7.2.2

Bringe ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{5}{18} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Schritt 7.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5}{18} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Schritt 7.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$- \frac{5}{18} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Schritt 7.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{18} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ nach $u_{2}$ gleich $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{5}{18} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe $- \frac{5}{18} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$ als $- \frac{5}{18} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$ um.

$- \frac{5}{18} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 (\frac{5}{18}) {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{5}{18}$ .

$\frac{- 2 \cdot 5}{18} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$\frac{- 10}{18} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $18$ .

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Schritt 9.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$\frac{2 (- 5)}{18} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 9} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 9} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 5}{9} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{9} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 - 3 e^{3 x^{2}}$ .

$- \frac{5}{9} {(2 - 3 e^{3 x^{2}})}^{\frac{1}{2}} + C$