Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{5}{{(2 - 8 x)}^{3}}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{5}{{(2 - 8 x)}^{3}} d x$

Schritt 3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int \frac{1}{{(2 - 8 x)}^{3}} d x$

Schritt 4

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 4.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere den Bruch.

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Schritt 4.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 - 8 x$ heraus.

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Schritt 4.1.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{{(2 (1) - 8 x)}^{3}}$

Schritt 4.1.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x$ heraus.

$\frac{1}{{(2 (1) + 2 (- 4 x))}^{3}}$

Schritt 4.1.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (- 4 x)$ heraus.

$\frac{1}{{(2 (1 - 4 x))}^{3}}$

Schritt 4.1.1.2

Wende die Produktregel auf $2 (1 - 4 x)$ an.

$\frac{1}{2^{3} {(1 - 4 x)}^{3}}$

Schritt 4.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{{(1 - 4 x)}^{3}}$

Schritt 4.1.3

$\frac{A}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Schritt 4.1.4

$\frac{A}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{C}{1 - 4 x}$

Schritt 4.1.5

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $2^{3} {(1 - 4 x)}^{3}$ .

$\frac{1 (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{2^{3} {(1 - 4 x)}^{3}} = \frac{(A) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 4.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2^{3}$ .

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Schritt 4.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 4.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 ({(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} = \frac{(A) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 4.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(1 - 4 x)}^{3}$ .

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Schritt 4.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 {(1 - 4 x)}^{3}}{{(1 - 4 x)}^{3}} = \frac{(A) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 4.1.7.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{(A) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 4.1.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(1 - 4 x)}^{3}$ .

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Schritt 4.1.8.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{A (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 4.1.8.1.2

Dividiere $(A) \cdot (2^{3})$ durch $1$ .

$1 = (A) \cdot (2^{3}) + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 4.1.8.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$1 = A \cdot 8 + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 4.1.8.3

Bringe $8$ auf die linke Seite von $A$ .

$1 = 8 \cdot A + \frac{(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 4.1.8.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(1 - 4 x)}^{3}$ und ${(1 - 4 x)}^{2}$ .

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Schritt 4.1.8.4.1

Faktorisiere ${(1 - 4 x)}^{2}$ aus $(B) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})$ heraus.

$1 = 8 A + \frac{{(1 - 4 x)}^{2} (B (2^{3} (1 - 4 x)))}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 4.1.8.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.8.4.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$1 = 8 A + \frac{{(1 - 4 x)}^{2} (B (2^{3} (1 - 4 x)))}{{(1 - 4 x)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 4.1.8.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = 8 A + \frac{{(1 - 4 x)}^{2} (B (2^{3} (1 - 4 x)))}{{(1 - 4 x)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 4.1.8.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$1 = 8 A + \frac{B (2^{3} (1 - 4 x))}{1} + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 4.1.8.4.2.4

Dividiere $B (2^{3} (1 - 4 x))$ durch $1$ .

$1 = 8 A + B (2^{3} (1 - 4 x)) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 4.1.8.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = 8 A + 2^{3} B (1 - 4 x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 4.1.8.6

Potenziere $2$ mit $3$ .

$1 = 8 A + 8 B (1 - 4 x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 4.1.8.7

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = 8 A + 8 B \cdot 1 + 8 B (- 4 x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 4.1.8.8

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$1 = 8 A + 8 B + 8 B (- 4 x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 4.1.8.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = 8 A + 8 B + 8 \cdot (- 4 B x) + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 4.1.8.10

Mutltipliziere $8$ mit $- 4$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})}{1 - 4 x}$

Schritt 4.1.8.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(1 - 4 x)}^{3}$ und $1 - 4 x$ .

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Schritt 4.1.8.11.1

Faktorisiere $1 - 4 x$ aus $(C) (2^{3} {(1 - 4 x)}^{3})$ heraus.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{(1 - 4 x) (C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2}))}{1 - 4 x}$

Schritt 4.1.8.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.8.11.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{(1 - 4 x) (C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2}))}{(1 - 4 x) \cdot 1}$

Schritt 4.1.8.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{(1 - 4 x) (C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2}))}{(1 - 4 x) \cdot 1}$

Schritt 4.1.8.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + \frac{C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2})}{1}$

Schritt 4.1.8.11.2.4

Dividiere $C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2})$ durch $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + C (2^{3} {(1 - 4 x)}^{2})$

Schritt 4.1.8.12

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 2^{3} C {(1 - 4 x)}^{2}$

Schritt 4.1.8.13

Potenziere $2$ mit $3$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C {(1 - 4 x)}^{2}$

Schritt 4.1.8.14

Schreibe ${(1 - 4 x)}^{2}$ als $(1 - 4 x) (1 - 4 x)$ um.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C ((1 - 4 x) (1 - 4 x))$

Schritt 4.1.8.15

Multipliziere $(1 - 4 x) (1 - 4 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.8.15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 (1 - 4 x) - 4 x (1 - 4 x))$

Schritt 4.1.8.15.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 \cdot 1 + 1 (- 4 x) - 4 x (1 - 4 x))$

Schritt 4.1.8.15.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 \cdot 1 + 1 (- 4 x) - 4 x \cdot 1 - 4 x (- 4 x))$

Schritt 4.1.8.16

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.8.16.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.8.16.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 + 1 (- 4 x) - 4 x \cdot 1 - 4 x (- 4 x))$

Schritt 4.1.8.16.1.2

Mutltipliziere $- 4 x$ mit $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x \cdot 1 - 4 x (- 4 x))$

Schritt 4.1.8.16.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x - 4 x (- 4 x))$

Schritt 4.1.8.16.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot (- 4 x \cdot x))$

Schritt 4.1.8.16.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.8.16.1.5.1

Bewege $x$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot (- 4 (x \cdot x)))$

Schritt 4.1.8.16.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot (- 4 x^{2}))$

Schritt 4.1.8.16.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 4 x - 4 x + 16 x^{2})$

Schritt 4.1.8.16.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 4 x$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C (1 - 8 x + 16 x^{2})$

Schritt 4.1.8.17

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C \cdot 1 + 8 C (- 8 x) + 8 C (16 x^{2})$

Schritt 4.1.8.18

Vereinfache.

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Schritt 4.1.8.18.1

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C + 8 C (- 8 x) + 8 C (16 x^{2})$

Schritt 4.1.8.18.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C + 8 \cdot (- 8 C x) + 8 C (16 x^{2})$

Schritt 4.1.8.18.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C + 8 \cdot (- 8 C x) + 8 \cdot (16 C x^{2})$

Schritt 4.1.8.19

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.8.19.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 8$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C - 64 C x + 8 \cdot (16 C x^{2})$

Schritt 4.1.8.19.2

Mutltipliziere $8$ mit $16$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 B x + 8 C - 64 C x + 128 C x^{2}$

Schritt 4.1.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.9.1

Bewege $B$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 x B + 8 C - 64 C x + 128 C x^{2}$

Schritt 4.1.9.2

Bewege $8 C$ .

$1 = 8 A + 8 B - 32 x B - 64 C x + 128 C x^{2} + 8 C$

Schritt 4.1.9.3

Bewege $8 B$ .

$1 = 8 A - 32 x B - 64 C x + 128 C x^{2} + 8 B + 8 C$

Schritt 4.1.9.4

Bewege $8 A$ .

$1 = - 32 x B - 64 C x + 128 C x^{2} + 8 A + 8 B + 8 C$

Schritt 4.1.9.5

Bewege $- 64 C x$ .

$1 = - 32 x B + 128 C x^{2} - 64 C x + 8 A + 8 B + 8 C$

Schritt 4.1.9.6

Stelle $- 32 x B$ und $128 C x^{2}$ um.

$1 = 128 C x^{2} - 32 x B - 64 C x + 8 A + 8 B + 8 C$

Schritt 4.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 4.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = 128 C$

Schritt 4.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = - 32 B - 64 C$

Schritt 4.2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Schritt 4.2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = 128 C$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$0 = 128 C$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Schritt 4.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 4.3.1

Löse in $0 = 128 C$ nach $C$ auf.

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Schritt 4.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $128 C = 0$ um.

$128 C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Schritt 4.3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $128 C = 0$ durch $128$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $128 C = 0$ durch $128$ .

$\frac{128 C}{128} = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Schritt 4.3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $128$ .

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Schritt 4.3.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{128 C}{128} = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Schritt 4.3.1.2.2.1.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$C = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = \frac{0}{128}$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Schritt 4.3.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1.2.3.1

Dividiere $0$ durch $128$ .

$C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$C = 0$

$0 = - 32 B - 64 C$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Schritt 4.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $C$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.3.2.1

Ersetze alle $C$ in $0 = - 32 B - 64 C$ durch $0$ .

$0 = - 32 B - 64 \cdot 0$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.2.1

Vereinfache $- 32 B - 64 \cdot 0$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 64$ mit $0$ .

$0 = - 32 B + 0$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Schritt 4.3.2.2.1.2

Addiere $- 32 B$ und $0$ .

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B + 8 C$

Schritt 4.3.2.3

Ersetze alle $C$ in $1 = 8 A + 8 B + 8 C$ durch $0$ .

$1 = 8 A + 8 B + 8 (0)$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

Schritt 4.3.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.4.1

Vereinfache $8 A + 8 B + 8 (0)$ .

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Schritt 4.3.2.4.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$1 = 8 A + 8 B + 0$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

Schritt 4.3.2.4.1.2

Addiere $8 A + 8 B$ und $0$ .

$1 = 8 A + 8 B$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$0 = - 32 B$

$C = 0$

Schritt 4.3.3

Löse in $0 = - 32 B$ nach $B$ auf.

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Schritt 4.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- 32 B = 0$ um.

$- 32 B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

Schritt 4.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 32 B = 0$ durch $- 32$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 32 B = 0$ durch $- 32$ .

$\frac{- 32 B}{- 32} = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

Schritt 4.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 32$ .

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Schritt 4.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 32 B}{- 32} = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

Schritt 4.3.3.2.2.1.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = \frac{0}{- 32}$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

Schritt 4.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.2.3.1

Dividiere $0$ durch $- 32$ .

$B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

$B = 0$

$1 = 8 A + 8 B$

$C = 0$

Schritt 4.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.3.4.1

Ersetze alle $B$ in $1 = 8 A + 8 B$ durch $0$ .

$1 = 8 A + 8 (0)$

$B = 0$

$C = 0$

Schritt 4.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.4.2.1

Vereinfache $8 A + 8 (0)$ .

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Schritt 4.3.4.2.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$1 = 8 A + 0$

$B = 0$

$C = 0$

Schritt 4.3.4.2.1.2

Addiere $8 A$ und $0$ .

$1 = 8 A$

$B = 0$

$C = 0$

$1 = 8 A$

$B = 0$

$C = 0$

$1 = 8 A$

$B = 0$

$C = 0$

$1 = 8 A$

$B = 0$

$C = 0$

Schritt 4.3.5

Löse in $1 = 8 A$ nach $A$ auf.

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Schritt 4.3.5.1

Schreibe die Gleichung als $8 A = 1$ um.

$8 A = 1$

$B = 0$

$C = 0$

Schritt 4.3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $8 A = 1$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 A = 1$ durch $8$ .

$\frac{8 A}{8} = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

Schritt 4.3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 4.3.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 A}{8} = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

Schritt 4.3.5.2.2.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

$A = \frac{1}{8}$

$B = 0$

$C = 0$

Schritt 4.3.6

Löse das Gleichungssystem.

$A = \frac{1}{8} B = 0 C = 0$

Schritt 4.3.7

Liste alle Lösungen auf.

$A = \frac{1}{8}, B = 0, C = 0$

Schritt 4.4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{C}{1 - 4 x}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$\frac{\frac{1}{8}}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{0}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{0}{1 - 4 x}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{{(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{0}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{0}{1 - 4 x}$

Schritt 4.5.2

Kombinieren.

$\frac{1 \cdot 1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{0}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{0}{1 - 4 x}$

Schritt 4.5.3

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} + \frac{0}{{(1 - 4 x)}^{2}} + \frac{0}{1 - 4 x}$

Schritt 4.5.4

Dividiere $0$ durch ${(1 - 4 x)}^{2}$ .

$\frac{1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} + 0 + \frac{0}{1 - 4 x}$

Schritt 4.5.5

Dividiere $0$ durch $1 - 4 x$ .

$\frac{1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} + 0 + 0$

Schritt 4.5.6

Entferne die Null aus dem Ausdruck.

$5 \int \frac{1}{8 {(1 - 4 x)}^{3}} d x$

Schritt 5

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$5 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{{(1 - 4 x)}^{3}} d x)$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $5$ .

$\frac{5}{8} \int \frac{1}{{(1 - 4 x)}^{3}} d x$

Schritt 7

Sei $u = 1 - 4 x$ . Dann ist $d u = - 4 d x$ , folglich $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u = 1 - 4 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $1 - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x]$

Schritt 7.1.2

Differenziere.

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Schritt 7.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 7.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 7.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 7.1.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 4 \cdot 1$

Schritt 7.1.3.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$0 - 4$

Schritt 7.1.4

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$- 4$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{5}{8} \int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{- 4} d u$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5}{8} \int \frac{1}{u^{3}} (- \frac{1}{4}) d u$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{3}}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{8} \int - \frac{1}{u^{3} \cdot 4} d u$

Schritt 8.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $u^{3}$ .

$\frac{5}{8} \int - \frac{1}{4 u^{3}} d u$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{5}{8} (- \int \frac{1}{4 u^{3}} d u)$

Schritt 10

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{5}{8} (- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{3}} d u))$

Schritt 11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

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Schritt 11.1.1

Mutltipliziere $\frac{5}{8}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{5}{8 \cdot 4} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Schritt 11.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$- \frac{5}{32} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Schritt 11.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 11.2.1

Bringe $u^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{5}{32} \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Schritt 11.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 11.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5}{32} \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Schritt 11.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{5}{32} \int u^{- 3} d u$

Schritt 12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 3}$ nach $u$ gleich $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Schreibe $- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$ als $- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ um.

$- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$

Schritt 13.2

Vereinfache.

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Schritt 13.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{5}{32} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$

Schritt 13.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u^{2}$ .

$- \frac{5}{32} (- \frac{1}{2 \cdot u^{2}}) + C$

Schritt 13.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{5}{32}) \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Schritt 13.2.4

Mutltipliziere $\frac{5}{32}$ mit $1$ .

$\frac{5}{32} \cdot \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Schritt 13.2.5

Mutltipliziere $\frac{5}{32}$ mit $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$\frac{5}{32 (2 u^{2})} + C$

Schritt 13.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $32$ .

$\frac{5}{64 u^{2}} + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $1 - 4 x$ .

$\frac{5}{64 {(1 - 4 x)}^{2}} + C$

Schritt 15

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{5}{{(2 - 8 x)}^{3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{64 {(1 - 4 x)}^{2}} + C$