Analysis Beispiele

$\frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}} d x$

Schritt 4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\int \frac{1}{\sqrt{(1 - x) (1 + x)}} d x$

Schritt 5

Wende die quadratische Ergänzung an.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.1

Multipliziere $(1 - x) (1 + x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (1 + x) - x (1 + x)$

Schritt 5.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 + 1 x - x (1 + x)$

Schritt 5.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 + 1 x - x \cdot 1 - x \cdot x$

Schritt 5.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 + 1 x - x \cdot 1 - x \cdot x$

Schritt 5.1.2.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$1 + x - x \cdot 1 - x \cdot x$

Schritt 5.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 + x - x - x \cdot x$

Schritt 5.1.2.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.2.1.4.1

Bewege $x$ .

$1 + x - x - (x \cdot x)$

Schritt 5.1.2.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$1 + x - x - x^{2}$

Schritt 5.1.2.2

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$1 + 0 - x^{2}$

Schritt 5.1.2.3

Addiere $1$ und $0$ .

$1 - x^{2}$

Schritt 5.1.3

Stelle $1$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} + 1$

Schritt 5.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

Schritt 5.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 5.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.4.2.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Schritt 5.4.2.2

Schreibe $- 1 \cdot 0$ als $- 0$ um.

$d = - 0$

Schritt 5.4.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$d = 0$

Schritt 5.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 5.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Schritt 5.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

Schritt 5.5.2.1.3

Dividiere $0$ durch $- 4$ .

$e = 1 - 0$

Schritt 5.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e = 1 + 0$

Schritt 5.5.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$e = 1$

Schritt 5.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(x + 0)}^{2} + 1$ ein.

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(x + 0)}^{2} + 1}} d x$

Schritt 6

Sei $u = x + 0$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = x + 0$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $x + 0$ .

$\frac{d}{d x} [x + 0]$

Schritt 6.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 0$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [0]$

Schritt 6.1.4

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 6.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}} d u$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1^{2}}} d u$

Schritt 7.2

Stelle $- u^{2}$ und $1^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ nach $u$ ist $\arcsin (u)$

$\arcsin (u) + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $x + 0$ .

$\arcsin (x + 0) + C$

Schritt 10

Addiere $x$ und $0$ .

$\arcsin (x) + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$ .

$F (x) =$ $\arcsin (x) + C$