Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 4$

Schritt 1

Wandle den zweiseitigen Grenzwert in einen rechtsseitigen Grenzwert um.

$lim_{x \to 1^{+}} x^{2} - 2 x + 4$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$lim_{x \to 1^{+}} x^{2} - lim_{x \to 1^{+}} 2 x + lim_{x \to 1^{+}} 4$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{x \to 1^{+}} x)}^{2} - lim_{x \to 1^{+}} 2 x + lim_{x \to 1^{+}} 4$

Schritt 4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

${(lim_{x \to 1^{+}} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1^{+}} x + lim_{x \to 1^{+}} 4$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

${(lim_{x \to 1^{+}} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1^{+}} x + 4$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$1^{2} - 2 lim_{x \to 1^{+}} x + 4$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$1^{2} - 2 \cdot 1 + 4$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 2 \cdot 1 + 4$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$1 - 2 + 4$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- 1 + 4$

Schritt 7.3

Addiere $- 1$ und $4$ .

$3$