Analysis Beispiele

$\int \frac{\sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = \cos (2 x)$ . Dann ist $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = \cos (2 x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${u_{2}}^{2}$ .

$\int - \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Bringe ${u_{2}}^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{- 2}$ nach $u_{2}$ gleich $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2} (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe $- \frac{1}{2} (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ als $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ um.

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{u_{2}} + C$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u_{2}} + C$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2 u_{2}} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{2 \cos (2 x)} + C$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Separiere Brüche.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)} + C$

Schritt 9.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (2 x)}$ nach $\sec (2 x)$ um.

$\frac{1}{2} \sec (2 x) + C$

Schritt 9.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sec (2 x)$ .

$\frac{\sec (2 x)}{2} + C$

Schritt 9.4

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} \sec (2 x) + C$