Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Schritt 5

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Schritt 6

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 7

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 7.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{- 2} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Vereinfache.

$2 \ln (| x |) + 3 (- \frac{1}{x}) + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$2 \ln (| x |) - 3 \frac{1}{x} + C$

Schritt 9.2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x}$ .

$2 \ln (| x |) + \frac{- 3}{x} + C$

Schritt 9.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$