Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} {(\ln (x))}^{\frac{1}{x}}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(\ln (x))}^{\frac{1}{x}}$ als $e^{\ln ({(\ln (x))}^{\frac{1}{x}})}$ um.

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\ln (x))}^{\frac{1}{x}})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({(\ln (x))}^{\frac{1}{x}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{x}$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x} \ln (\ln (x))}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \ln (\ln (x))}$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\ln (\ln (x))$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\ln (x))}{x}}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\ln (x))}{lim_{x \to \infty} x}}$

Schritt 3.1.2

Da der Logarithmus gegen unendlich geht, geht der Wert gegen $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}}$

Schritt 3.1.3

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Schritt 3.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Schritt 3.2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\ln (x))}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \ln (x)$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\ln (x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\ln (x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\ln (x)} \cdot \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $\frac{1}{\ln (x)}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\ln (x) x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.5

Stelle die Terme um.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (x)}}{1}}$

Schritt 3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \ln (x)} \cdot 1}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{1}{x \ln (x)}$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \ln (x)}}$

Schritt 4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x \ln (x)}$ $0$ .

$e^{0}$

Schritt 5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1$