Analysis Beispiele

$lim_{t \to 3} \frac{3 - t}{\sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{t \to 3} 3 - t}{lim_{t \to 3} \sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{t \to 3} 3 - lim_{t \to 3} t}{lim_{t \to 3} \sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $3$ annähert.

$\frac{3 - lim_{t \to 3} t}{lim_{t \to 3} \sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.3.1

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $3$ für $t$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{t \to 3} \sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 3} \sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $3$ annähert.

$\frac{0}{lim_{t \to 3} \sqrt{t + 1} - lim_{t \to 3} \sqrt{5 t - 11}}$

Schritt 1.1.3.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1} - lim_{t \to 3} \sqrt{5 t - 11}}$

Schritt 1.1.3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $3$ annähert.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + lim_{t \to 3} 1} - lim_{t \to 3} \sqrt{5 t - 11}}$

Schritt 1.1.3.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $3$ annähert.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1} - lim_{t \to 3} \sqrt{5 t - 11}}$

Schritt 1.1.3.5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1} - \sqrt{lim_{t \to 3} 5 t - 11}}$

Schritt 1.1.3.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $3$ annähert.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1} - \sqrt{lim_{t \to 3} 5 t - lim_{t \to 3} 11}}$

Schritt 1.1.3.7

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1} - \sqrt{5 lim_{t \to 3} t - lim_{t \to 3} 11}}$

Schritt 1.1.3.8

Berechne den Grenzwert von $11$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $3$ annähert.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1} - \sqrt{5 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 11}}$

Schritt 1.1.3.9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $t$ .

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Schritt 1.1.3.9.1

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $3$ für $t$ .

$\frac{0}{\sqrt{3 + 1} - \sqrt{5 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 11}}$

Schritt 1.1.3.9.2

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $3$ für $t$ .

$\frac{0}{\sqrt{3 + 1} - \sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 11}}$

Schritt 1.1.3.10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.10.1.1

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{0}{\sqrt{4} - \sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 11}}$

Schritt 1.1.3.10.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{0}{\sqrt{2^{2}} - \sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 11}}$

Schritt 1.1.3.10.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{0}{2 - \sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 11}}$

Schritt 1.1.3.10.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{0}{2 - \sqrt{15 - 1 \cdot 11}}$

Schritt 1.1.3.10.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $11$ .

$\frac{0}{2 - \sqrt{15 - 11}}$

Schritt 1.1.3.10.1.6

Subtrahiere $11$ von $15$ .

$\frac{0}{2 - \sqrt{4}}$

Schritt 1.1.3.10.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{0}{2 - \sqrt{2^{2}}}$

Schritt 1.1.3.10.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.10.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Schritt 1.1.3.10.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.10.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.11

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{t \to 3} \frac{3 - t}{\sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}} = lim_{t \to 3} \frac{\frac{d}{d t} [3 - t]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{t \to 3} \frac{\frac{d}{d t} [3 - t]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$lim_{t \to 3} \frac{\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- t]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}]}$

Schritt 1.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$lim_{t \to 3} \frac{0 + \frac{d}{d t} [- t]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d t} [- t]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 3} \frac{0 - \frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{t \to 3} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{t \to 3} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}]}$

Schritt 1.3.5

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 1}] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 1}] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

Schritt 1.3.7

Berechne $\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 1}]$ .

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Schritt 1.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t + 1}$ als ${(t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

Schritt 1.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ und $g (t) = t + 1$ .

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Schritt 1.3.7.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $t + 1$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t + 1] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

Schritt 1.3.7.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 1] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

Schritt 1.3.7.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $t + 1$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 1] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

Schritt 1.3.7.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

Schritt 1.3.7.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d t} [1]) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

Schritt 1.3.7.5

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

Schritt 1.3.7.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

Schritt 1.3.7.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

Schritt 1.3.7.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

Schritt 1.3.7.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.7.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

Schritt 1.3.7.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

Schritt 1.3.7.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2} {(t + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

Schritt 1.3.7.11

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2} {(t + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

Schritt 1.3.7.12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{{(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

Schritt 1.3.7.13

Mutltipliziere $\frac{{(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ mit $1$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{{(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

Schritt 1.3.7.14

Bringe ${(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

Schritt 1.3.8

Berechne $\frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]$ .

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Schritt 1.3.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 t - 11}$ als ${(5 t - 11)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- {(5 t - 11)}^{\frac{1}{2}}]}$

Schritt 1.3.8.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- {(5 t - 11)}^{\frac{1}{2}}$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [{(5 t - 11)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d t} [{(5 t - 11)}^{\frac{1}{2}}]}$

Schritt 1.3.8.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ und $g (t) = 5 t - 11$ .

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Schritt 1.3.8.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $5 t - 11$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [5 t - 11])}$

Schritt 1.3.8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [5 t - 11])}$

Schritt 1.3.8.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $5 t - 11$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [5 t - 11])}$

Schritt 1.3.8.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 t - 11$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 11]$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 11]))}$

Schritt 1.3.8.5

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5 t$ nach $t$ gleich $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 11]))}$

Schritt 1.3.8.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 11]))}$

Schritt 1.3.8.7

Da $- 11$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 11$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \cdot 1 + 0))}$

Schritt 1.3.8.8

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Schritt 1.3.8.9

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Schritt 1.3.8.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Schritt 1.3.8.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.8.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{\frac{1 - 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Schritt 1.3.8.11.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{\frac{- 1}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Schritt 1.3.8.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{- \frac{1}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Schritt 1.3.8.13

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{- \frac{1}{2}} (5 + 0))}$

Schritt 1.3.8.14

Addiere $5$ und $0$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 5)}$

Schritt 1.3.8.15

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(5 t - 11)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{{(5 t - 11)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 5)}$

Schritt 1.3.8.16

Kombiniere $\frac{{(5 t - 11)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $5$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(5 t - 11)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 5}{2}}$

Schritt 1.3.8.17

Bringe $5$ auf die linke Seite von ${(5 t - 11)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{5 \cdot {(5 t - 11)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Schritt 1.3.8.18

Bringe ${(5 t - 11)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{2 {(5 t - 11)}^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 1.4

Wandle die gebrochene Exponenten in Wurzelausdrücke um.

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Schritt 1.4.1

Schreibe ${(t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{t + 1}$ um.

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 \sqrt{t + 1}} - \frac{5}{2 {(5 t - 11)}^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 1.4.2

Schreibe ${(5 t - 11)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{5 t - 11}$ um.

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 \sqrt{t + 1}} - \frac{5}{2 \sqrt{5 t - 11}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{t \to 3} - 1}{lim_{t \to 3} \frac{1}{2 \sqrt{t + 1}} - \frac{5}{2 \sqrt{5 t - 11}}}$

Schritt 2.2

Berechne den Grenzwert von $- 1$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $3$ annähert.

$\frac{- 1}{lim_{t \to 3} \frac{1}{2 \sqrt{t + 1}} - \frac{5}{2 \sqrt{5 t - 11}}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $3$ annähert.

$\frac{- 1}{lim_{t \to 3} \frac{1}{2 \sqrt{t + 1}} - lim_{t \to 3} \frac{5}{2 \sqrt{5 t - 11}}}$

Schritt 2.4

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} lim_{t \to 3} \frac{1}{\sqrt{t + 1}} - lim_{t \to 3} \frac{5}{2 \sqrt{5 t - 11}}}$

Schritt 2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $3$ annähert.

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 3} 1}{lim_{t \to 3} \sqrt{t + 1}} - lim_{t \to 3} \frac{5}{2 \sqrt{5 t - 11}}}$

Schritt 2.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $3$ annähert.

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{t \to 3} \sqrt{t + 1}} - lim_{t \to 3} \frac{5}{2 \sqrt{5 t - 11}}}$

Schritt 2.7

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1}} - lim_{t \to 3} \frac{5}{2 \sqrt{5 t - 11}}}$

Schritt 2.8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $3$ annähert.

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + lim_{t \to 3} 1}} - lim_{t \to 3} \frac{5}{2 \sqrt{5 t - 11}}}$

Schritt 2.9

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $3$ annähert.

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1}} - lim_{t \to 3} \frac{5}{2 \sqrt{5 t - 11}}}$

Schritt 2.10

Ziehe den Term $\frac{5}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1}} - \frac{5}{2} lim_{t \to 3} \frac{1}{\sqrt{5 t - 11}}}$

Schritt 2.11

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $3$ annähert.

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 3} 1}{lim_{t \to 3} \sqrt{5 t - 11}}}$

Schritt 2.12

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $3$ annähert.

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{lim_{t \to 3} \sqrt{5 t - 11}}}$

Schritt 2.13

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 3} 5 t - 11}}}$

Schritt 2.14

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $3$ annähert.

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 3} 5 t - lim_{t \to 3} 11}}}$

Schritt 2.15

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 lim_{t \to 3} t - lim_{t \to 3} 11}}}$

Schritt 2.16

Berechne den Grenzwert von $11$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $3$ annähert.

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 11}}}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $t$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $3$ für $t$ .

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3 + 1}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 11}}}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $3$ für $t$ .

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3 + 1}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 11}}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.1

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 11}}}$

Schritt 4.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2^{2}}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 11}}}$

Schritt 4.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 11}}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{15 - 1 \cdot 11}}}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $11$ .

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{15 - 11}}}$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $11$ von $15$ .

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4}}}$

Schritt 4.2.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}}$

Schritt 4.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 4.3.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 1}{\frac{1}{2 \cdot 2} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Schritt 4.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- 1}{\frac{1}{4} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Schritt 4.3.2

Multipliziere $- \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{5}{2}$ .

$\frac{- 1}{\frac{1}{4} - \frac{5}{2 \cdot 2}}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- 1}{\frac{1}{4} - \frac{5}{4}}$

Schritt 4.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1}{\frac{1 - 5}{4}}$

Schritt 4.3.4

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$\frac{- 1}{\frac{- 4}{4}}$

Schritt 4.3.5

Dividiere $- 4$ durch $4$ .

$\frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.4

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$1$