Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} \frac{2}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x$

Schritt 2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{2^{2} - x^{2}}} d x$

Schritt 3

Das Integral von $\frac{1}{\sqrt{2^{2} - x^{2}}}$ nach $x$ ist $\arcsin (\frac{x}{2})$

$2 (\arcsin (\frac{x}{2})]_{0}^{1})$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.1

Berechne $\arcsin (\frac{x}{2})$ bei $1$ und $0$ .

$2 ((\arcsin (\frac{1}{2})) - \arcsin (\frac{0}{2}))$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$2 (\arcsin (\frac{1}{2}) - \arcsin (\frac{2 (0)}{2}))$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 (\arcsin (\frac{1}{2}) - \arcsin (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\arcsin (\frac{1}{2}) - \arcsin (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Schritt 4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (\arcsin (\frac{1}{2}) - \arcsin (\frac{0}{1}))$

Schritt 4.2.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$2 (\arcsin (\frac{1}{2}) - \arcsin (0))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$2 (\frac{π}{6} - \arcsin (0))$

Schritt 5.1.2

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - 0)$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 (\frac{π}{6} + 0)$

Schritt 5.2

Addiere $\frac{π}{6}$ und $0$ .

$2 \frac{π}{6}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$2 \frac{π}{2 (3)}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{3}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{π}{3}$

Dezimalform:

$1.04719755 \dots$

Schritt 7