Analysis Beispiele

$\sin (2 x) + 3 \cos (3 x)$

Schritt 1

Schreibe $\sin (2 x) + 3 \cos (3 x)$ als Funktion.

$f (x) = \sin (2 x) + 3 \cos (3 x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sin (2 x) + 3 \cos (3 x) d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \sin (2 x) d x + \int 3 \cos (3 x) d x$

Schritt 5

Sei $u_{1} = 2 x$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u_{1} = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 5.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int 3 \cos (3 x) d x$

Schritt 6

Kombiniere $\sin (u_{1})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin (u_{1})}{2} d u_{1} + \int 3 \cos (3 x) d x$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int 3 \cos (3 x) d x$

Schritt 8

Das Integral von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int 3 \cos (3 x) d x$

Schritt 9

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 3 \int \cos (3 x) d x$

Schritt 10

Sei $u_{2} = 3 x$ . Dann ist $d u_{2} = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 10.1

Es sei $u_{2} = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 10.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 10.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 10.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 3 \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Schritt 11

Kombiniere $\cos (u_{2})$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 3 \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

Schritt 12

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 3 (\frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{3}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 13.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{3}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 13.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 1 \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 13.3

Mutltipliziere $\int \cos (u_{2}) d u_{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 14

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \sin (u_{2}) + C$

Schritt 15

Vereinfache.

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + \sin (u_{2}) + C$

Schritt 16

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 16.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \sin (u_{2}) + C$

Schritt 16.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \sin (3 x) + C$

Schritt 17

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{2} \cos (2 x) + \sin (3 x) + C$

Schritt 18

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sin (2 x) + 3 \cos (3 x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} \cos (2 x) + \sin (3 x) + C$