Analysis Beispiele

$\frac{1}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 1

Sei $u = 1 + x$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = 1 + x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 1.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C$

Schritt 4

Schreibe $- u^{- 1} + C$ als $- \frac{1}{u} + C$ um.

$- \frac{1}{u} + C$

Schritt 5

Ersetze alle $u$ durch $1 + x$ .

$- \frac{1}{1 + x} + C$