Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{3}{10} x^{5} - 13 x^{3}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{3}{10} x^{5} - 13 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $\frac{3}{10}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{10} x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{3}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

Schritt 1.1.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{3}{10}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

Schritt 1.1.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{15}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

Schritt 1.1.2.5

Kombiniere $\frac{15}{10}$ und $x^{4}$ .

$\frac{15 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

Schritt 1.1.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $10$ .

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Schritt 1.1.2.6.1

Faktorisiere $5$ aus $15 x^{4}$ heraus.

$\frac{5 (3 x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

Schritt 1.1.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

Schritt 1.1.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

Schritt 1.1.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 13$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 13 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 13 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 13 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 13 (3 x^{2})$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 13$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4}}{2} - 39 x^{2}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{3 x^{4}}{2} - 39 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 x^{4}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{3}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

Schritt 1.2.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

Schritt 1.2.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{12}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

Schritt 1.2.2.5

Kombiniere $\frac{12}{2}$ und $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

Schritt 1.2.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $2$ .

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Schritt 1.2.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $12 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 (6 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

Schritt 1.2.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

Schritt 1.2.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

Schritt 1.2.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

Schritt 1.2.2.6.2.4

Dividiere $6 x^{3}$ durch $1$ .

$6 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 39$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 39 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 39 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{3} - 39 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 x^{3} - 39 (2 x)$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 39$ .

$f'' (x) = 6 x^{3} - 78 x$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 x^{3} - 78 x$ .

$6 x^{3} - 78 x$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 x^{3} - 78 x = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$6 x^{3} - 78 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x^{3} - 78 x$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x^{3}$ heraus.

$6 x (x^{2}) - 78 x = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $6 x$ aus $- 78 x$ heraus.

$6 x (x^{2}) + 6 x (- 13) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x (x^{2}) + 6 x (- 13)$ heraus.

$6 x (x^{2} - 13) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 13 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $x^{2} - 13$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x^{2} - 13$ gleich $0$ .

$x^{2} - 13 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $x^{2} - 13 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $13$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 13$

Schritt 2.5.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{13}$

Schritt 2.5.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{13}$

Schritt 2.5.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{13}$

Schritt 2.5.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{13}, - \sqrt{13}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $6 x (x^{2} - 13) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \sqrt{13}, - \sqrt{13}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $0$ in $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} - 13 x^{3}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot {(0)}^{5} - 13 {(0)}^{3}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot 0 - 13 {(0)}^{3}$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{3}{10}$ mit $0$ .

$f (0) = 0 - 13 {(0)}^{3}$

Schritt 3.1.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 13 \cdot 0$

Schritt 3.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 13$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Schritt 3.1.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} - 13 x^{3}$ ermittelt werden kann, ist $(0, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 0)$

Schritt 3.3

Ersetze $\sqrt{13}$ in $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} - 13 x^{3}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\sqrt{13}$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot {(\sqrt{13})}^{5} - 13 {(\sqrt{13})}^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Schreibe ${\sqrt{13}}^{5}$ als $\sqrt{13^{5}}$ um.

$f (\sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot \sqrt{13^{5}} - 13 {(\sqrt{13})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2

Potenziere $13$ mit $5$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot \sqrt{371293} - 13 {(\sqrt{13})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.3

Schreibe $371293$ als $169^{2} \cdot 13$ um.

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Schritt 3.3.2.1.3.1

Faktorisiere $28561$ aus $371293$ heraus.

$f (\sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot \sqrt{28561 (13)} - 13 {(\sqrt{13})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.3.2

Schreibe $28561$ als $169^{2}$ um.

$f (\sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot \sqrt{169^{2} \cdot 13} - 13 {(\sqrt{13})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot (169 \sqrt{13}) - 13 {(\sqrt{13})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.5

Multipliziere $\frac{3}{10} (169 \sqrt{13})$ .

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Schritt 3.3.2.1.5.1

Kombiniere $169$ und $\frac{3}{10}$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{169 \cdot 3}{10} \cdot \sqrt{13} - 13 {(\sqrt{13})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.5.2

Mutltipliziere $169$ mit $3$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{507}{10} \cdot \sqrt{13} - 13 {(\sqrt{13})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.5.3

Kombiniere $\frac{507}{10}$ und $\sqrt{13}$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 {(\sqrt{13})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.6

Schreibe ${\sqrt{13}}^{3}$ als $\sqrt{13^{3}}$ um.

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 \sqrt{13^{3}}$

Schritt 3.3.2.1.7

Potenziere $13$ mit $3$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 \sqrt{2197}$

Schritt 3.3.2.1.8

Schreibe $2197$ als $13^{2} \cdot 13$ um.

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Schritt 3.3.2.1.8.1

Faktorisiere $169$ aus $2197$ heraus.

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 \sqrt{169 (13)}$

Schritt 3.3.2.1.8.2

Schreibe $169$ als $13^{2}$ um.

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 \sqrt{13^{2} \cdot 13}$

Schritt 3.3.2.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 (13 \sqrt{13})$

Schritt 3.3.2.1.10

Mutltipliziere $13$ mit $- 13$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 169 \sqrt{13}$

Schritt 3.3.2.2

Um $- 169 \sqrt{13}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{10}{10}$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 169 \sqrt{13} \cdot \frac{10}{10}$

Schritt 3.3.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.3.2.3.1

Kombiniere $- 169 \sqrt{13}$ und $\frac{10}{10}$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13}}{10} + \frac{- 169 \sqrt{13} \cdot 10}{10}$

Schritt 3.3.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13} - 169 \sqrt{13} \cdot 10}{10}$

Schritt 3.3.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.2.4.1

Mutltipliziere $10$ mit $- 169$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13} - 1690 \sqrt{13}}{10}$

Schritt 3.3.2.4.2

Subtrahiere $1690 \sqrt{13}$ von $507 \sqrt{13}$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{- 1183 \sqrt{13}}{10}$

Schritt 3.3.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\sqrt{13}) = - \frac{1183 \sqrt{13}}{10}$

Schritt 3.3.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1183 \sqrt{13}}{10}$ .

$- \frac{1183 \sqrt{13}}{10}$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\sqrt{13}$ in $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} - 13 x^{3}$ ermittelt werden kann, ist $(\sqrt{13}, - \frac{1183 \sqrt{13}}{10})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\sqrt{13}, - \frac{1183 \sqrt{13}}{10})$

Schritt 3.5

Ersetze $- \sqrt{13}$ in $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} - 13 x^{3}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \sqrt{13}$ .

$f (- \sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot {(- \sqrt{13})}^{5} - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{13}$ an.

$f (- \sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot ({(- 1)}^{5} {\sqrt{13}}^{5}) - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Schritt 3.5.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- \sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot (- {\sqrt{13}}^{5}) - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Schritt 3.5.2.1.3

Schreibe ${\sqrt{13}}^{5}$ als $\sqrt{13^{5}}$ um.

$f (- \sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot (- \sqrt{13^{5}}) - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Schritt 3.5.2.1.4

Potenziere $13$ mit $5$ .

$f (- \sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot (- \sqrt{371293}) - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Schritt 3.5.2.1.5

Schreibe $371293$ als $169^{2} \cdot 13$ um.

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Schritt 3.5.2.1.5.1

Faktorisiere $28561$ aus $371293$ heraus.

$f (- \sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot (- \sqrt{28561 (13)}) - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Schritt 3.5.2.1.5.2

Schreibe $28561$ als $169^{2}$ um.

$f (- \sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot (- \sqrt{169^{2} \cdot 13}) - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Schritt 3.5.2.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot (- (169 \sqrt{13})) - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Schritt 3.5.2.1.7

Mutltipliziere $169$ mit $- 1$ .

$f (- \sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot (- 169 \sqrt{13}) - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Schritt 3.5.2.1.8

Multipliziere $\frac{3}{10} (- 169 \sqrt{13})$ .

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Schritt 3.5.2.1.8.1

Kombiniere $- 169$ und $\frac{3}{10}$ .

$f (- \sqrt{13}) = \frac{- 169 \cdot 3}{10} \cdot \sqrt{13} - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Schritt 3.5.2.1.8.2

Mutltipliziere $- 169$ mit $3$ .

$f (- \sqrt{13}) = \frac{- 507}{10} \cdot \sqrt{13} - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Schritt 3.5.2.1.8.3

Kombiniere $\frac{- 507}{10}$ und $\sqrt{13}$ .

$f (- \sqrt{13}) = \frac{- 507 \sqrt{13}}{10} - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Schritt 3.5.2.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Schritt 3.5.2.1.10

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{13}$ an.

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{13}}^{3})$

Schritt 3.5.2.1.11

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 (- {\sqrt{13}}^{3})$

Schritt 3.5.2.1.12

Schreibe ${\sqrt{13}}^{3}$ als $\sqrt{13^{3}}$ um.

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 (- \sqrt{13^{3}})$

Schritt 3.5.2.1.13

Potenziere $13$ mit $3$ .

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 (- \sqrt{2197})$

Schritt 3.5.2.1.14

Schreibe $2197$ als $13^{2} \cdot 13$ um.

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Schritt 3.5.2.1.14.1

Faktorisiere $169$ aus $2197$ heraus.

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 (- \sqrt{169 (13)})$

Schritt 3.5.2.1.14.2

Schreibe $169$ als $13^{2}$ um.

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 (- \sqrt{13^{2} \cdot 13})$

Schritt 3.5.2.1.15

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 (- (13 \sqrt{13}))$

Schritt 3.5.2.1.16

Mutltipliziere $13$ mit $- 1$ .

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 (- 13 \sqrt{13})$

Schritt 3.5.2.1.17

Mutltipliziere $- 13$ mit $- 13$ .

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} + 169 \sqrt{13}$

Schritt 3.5.2.2

Um $169 \sqrt{13}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{10}{10}$ .

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} + 169 \sqrt{13} \cdot \frac{10}{10}$

Schritt 3.5.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.5.2.3.1

Kombiniere $169 \sqrt{13}$ und $\frac{10}{10}$ .

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} + \frac{169 \sqrt{13} \cdot 10}{10}$

Schritt 3.5.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \sqrt{13}) = \frac{- 507 \sqrt{13} + 169 \sqrt{13} \cdot 10}{10}$

Schritt 3.5.2.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.4.1

Mutltipliziere $10$ mit $169$ .

$f (- \sqrt{13}) = \frac{- 507 \sqrt{13} + 1690 \sqrt{13}}{10}$

Schritt 3.5.2.4.2

Addiere $- 507 \sqrt{13}$ und $1690 \sqrt{13}$ .

$f (- \sqrt{13}) = \frac{1183 \sqrt{13}}{10}$

Schritt 3.5.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{1183 \sqrt{13}}{10}$ .

$\frac{1183 \sqrt{13}}{10}$

Schritt 3.6

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- \sqrt{13}$ in $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} - 13 x^{3}$ ermittelt werden kann, ist $(- \sqrt{13}, \frac{1183 \sqrt{13}}{10})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- \sqrt{13}, \frac{1183 \sqrt{13}}{10})$

Schritt 3.7

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, 0), (\sqrt{13}, - \frac{1183 \sqrt{13}}{10}), (- \sqrt{13}, \frac{1183 \sqrt{13}}{10})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - \sqrt{13}) \cup (- \sqrt{13}, 0) \cup (0, \sqrt{13}) \cup (\sqrt{13}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \sqrt{13})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3.70555127$ .

$f'' (- 3.70555127) = 6 {(- 3.70555127)}^{3} - 78 \cdot - 3.70555127$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 3.70555127$ mit $3$ .

$f'' (- 3.70555127) = 6 \cdot - 50.88133311 - 78 \cdot - 3.70555127$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 50.88133311$ .

$f'' (- 3.70555127) = - 305.28799871 - 78 \cdot - 3.70555127$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 78$ mit $- 3.70555127$ .

$f'' (- 3.70555127) = - 305.28799871 + 289.03299948$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 305.28799871$ und $289.03299948$ .

$f'' (- 3.70555127) = - 16.25499922$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 16.25499922$ .

$- 16.25499922$

Schritt 5.3

Bei $- 3.70555127$ , die zweite Ableitung ist $- 16.25499922$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - \sqrt{13})$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - \sqrt{13})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \sqrt{13}, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.80277563$ .

$f'' (- 1.80277563) = 6 {(- 1.80277563)}^{3} - 78 \cdot - 1.80277563$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 1.80277563$ mit $3$ .

$f'' (- 1.80277563) = 6 \cdot - 5.85902082 - 78 \cdot - 1.80277563$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 5.85902082$ .

$f'' (- 1.80277563) = - 35.15412493 - 78 \cdot - 1.80277563$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 78$ mit $- 1.80277563$ .

$f'' (- 1.80277563) = - 35.15412493 + 140.61649974$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 35.15412493$ und $140.61649974$ .

$f'' (- 1.80277563) = 105.4623748$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $105.4623748$ .

$105.4623748$

Schritt 6.3

Bei $- 1.80277563$ ist die zweite Ableitung $105.4623748$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \sqrt{13}, 0)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \sqrt{13}, 0)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \sqrt{13})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.80277563$ .

$f'' (1.80277563) = 6 {(1.80277563)}^{3} - 78 \cdot 1.80277563$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $1.80277563$ mit $3$ .

$f'' (1.80277563) = 6 \cdot 5.85902082 - 78 \cdot 1.80277563$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $5.85902082$ .

$f'' (1.80277563) = 35.15412493 - 78 \cdot 1.80277563$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 78$ mit $1.80277563$ .

$f'' (1.80277563) = 35.15412493 - 140.61649974$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $140.61649974$ von $35.15412493$ .

$f'' (1.80277563) = - 105.4623748$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 105.4623748$ .

$- 105.4623748$

Schritt 7.3

Bei $1.80277563$ , die zweite Ableitung ist $- 105.4623748$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(0, \sqrt{13})$

Abfallend im Intervall $(0, \sqrt{13})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\sqrt{13}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3.70555127$ .

$f'' (3.70555127) = 6 {(3.70555127)}^{3} - 78 \cdot 3.70555127$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $3.70555127$ mit $3$ .

$f'' (3.70555127) = 6 \cdot 50.88133311 - 78 \cdot 3.70555127$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $50.88133311$ .

$f'' (3.70555127) = 305.28799871 - 78 \cdot 3.70555127$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $- 78$ mit $3.70555127$ .

$f'' (3.70555127) = 305.28799871 - 289.03299948$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $289.03299948$ von $305.28799871$ .

$f'' (3.70555127) = 16.25499922$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $16.25499922$ .

$16.25499922$

Schritt 8.3

Bei $3.70555127$ ist die zweite Ableitung $16.25499922$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(\sqrt{13}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(\sqrt{13}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 9

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(- \sqrt{13}, \frac{1183 \sqrt{13}}{10}), (0, 0), (\sqrt{13}, - \frac{1183 \sqrt{13}}{10})$ .

$(- \sqrt{13}, \frac{1183 \sqrt{13}}{10}), (0, 0), (\sqrt{13}, - \frac{1183 \sqrt{13}}{10})$

Schritt 10