Analysis Beispiele

$\int {(\frac{1}{3} y)}^{\frac{1}{2}} d y$

Schritt 1

Sei $u = \frac{1}{3} y$ . Dann ist $d u = \frac{1}{3} d y$ , folglich $3 d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = \frac{1}{3} y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $\frac{1}{3} y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} y]$

Schritt 1.1.2

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3} y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{3}$ zu dividieren.

$\int u^{\frac{1}{2}} (1 \cdot 3) d u$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} \cdot 3 d u$

Schritt 2.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3

Da $3$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Schreibe $3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ als $3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 5.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 5.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 5.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 5.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 5.2.3.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{3} y$ .

$2 {(\frac{1}{3} y)}^{\frac{3}{2}} + C$