Analysis Beispiele

$\tan^{5} (x)$

Schritt 1

Schreibe $\tan^{5} (x)$ als Funktion.

$f (x) = \tan^{5} (x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \tan^{5} (x) d x$

Schritt 4

Faktorisiere $\tan^{4} (x)$ aus.

$\int \tan^{4} (x) \tan (x) d x$

Schritt 5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\int {\tan (x)}^{2 (2)} \tan (x) d x$

Schritt 5.2

Schreibe ${\tan (x)}^{2 (2)}$ als Potenz um.

$\int {(\tan^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Schritt 6

Schreibe $\tan^{2} (x)$ in $- 1 + \sec^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Schritt 7

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\int ({(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2}) \tan (x) d x$

Schritt 8

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int {(- 1)}^{2} \tan (x) + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\int 1 \tan (x) + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\int \tan (x) + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Schritt 8.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int \tan (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Schritt 8.2.4

Multipliziere die Exponenten in ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ .

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Schritt 8.2.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \tan (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + {\sec (x)}^{2 \cdot 2} \tan (x) d x$

Schritt 8.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int \tan (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \tan (x) d x + \int - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Schritt 10

Das Integral von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C + \int - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Schritt 11

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Schritt 12

Sei $u_{1} = \sec (x)$ . Dann ist $d u_{1} = \sec (x) \tan (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 12.1

Es sei $u_{1} = \sec (x)$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 12.1.1

Differenziere $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 12.1.2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Schritt 12.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 \int u_{1} d u_{1} + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Schritt 13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u_{1}$ nach $u_{1}$ gleich $\frac{1}{2} {u_{1}}^{2}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Schritt 14

Sei $u_{2} = \sec (x)$ . Dann ist $d u_{2} = \sec (x) \tan (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 14.1

Es sei $u_{2} = \sec (x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 14.1.1

Differenziere $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 14.1.2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Schritt 14.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Schritt 15

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{3}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${u_{1}}^{2}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{{u_{1}}^{2}}{2} + C) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Schritt 16.2

Vereinfache.

$\ln (| \sec (x) |) - {u_{1}}^{2} + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Schritt 17

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 17.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sec (x)$ .

$\ln (| \sec (x) |) - \sec^{2} (x) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Schritt 17.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sec (x)$ .

$\ln (| \sec (x) |) - \sec^{2} (x) + \frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$

Schritt 18

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \tan^{5} (x)$ .

$F (x) =$ $\ln (| \sec (x) |) - \sec^{2} (x) + \frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$