Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} (x^{3} + x) {(x^{4} + 2 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ . Dann ist $d u = (4 x^{3} + 4 x) d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = (x^{3} + x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{4} + 2 x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x^{2} + 9]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 2 x^{2} + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} + 4 x + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $4 x^{3} + 4 x$ und $0$ .

$4 x^{3} + 4 x$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ ein.

$u_{lower} = 0^{4} + 2 \cdot 0^{2} + 9$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 0 + 2 \cdot 0^{2} + 9$

Schritt 1.3.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 0 + 2 \cdot 0 + 9$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 9$

Schritt 1.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$u_{lower} = 0 + 9$

Schritt 1.3.3

Addiere $0$ und $9$ .

$u_{lower} = 9$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ ein.

$u_{upper} = 1^{4} + 2 \cdot 1^{2} + 9$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1^{2} + 9$

Schritt 1.5.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1 + 9$

Schritt 1.5.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2 + 9$

Schritt 1.5.2

Addiere $1$ und $2$ .

$u_{upper} = 3 + 9$

Schritt 1.5.3

Addiere $3$ und $9$ .

$u_{upper} = 12$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 12$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{9}^{12} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} d u$

Schritt 2

Kombiniere $u^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{1}{4}$ .

$\int_{9}^{12} \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int_{9}^{12} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{12}$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $12$ und $9$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 12^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $12^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.2.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.2.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Schritt 5.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3})$

Schritt 5.2.5

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 27)$

Schritt 5.2.6

Mutltipliziere $27$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - 27 (\frac{2}{3}))$

Schritt 5.2.7

Kombiniere $- 27$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 27 \cdot 2}{3})$

Schritt 5.2.8

Mutltipliziere $- 27$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 54}{3})$

Schritt 5.2.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 54$ und $3$ .

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Schritt 5.2.9.1

Faktorisiere $3$ aus $- 54$ heraus.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3})$

Schritt 5.2.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.9.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 (1)})$

Schritt 5.2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1})$

Schritt 5.2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 18}{1})$

Schritt 5.2.9.2.4

Dividiere $- 18$ durch $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - 18)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{4} \cdot - 18$

Schritt 6.2

Kombinieren.

$\frac{1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{1}{4} \cdot - 18$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2 (2)} \cdot - 18$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 18$ heraus.

$\frac{1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 9)$

Schritt 6.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 9)$

Schritt 6.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot - 9$

Schritt 6.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 9$ .

$\frac{1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{- 9}{2}$

Schritt 6.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.5.1

Faktorisiere $2$ aus $1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})$ heraus.

$\frac{2 (1 \cdot (12^{\frac{3}{2}}))}{4 \cdot 3} + \frac{- 9}{2}$

Schritt 6.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \cdot 3$ heraus.

$\frac{2 (1 \cdot (12^{\frac{3}{2}}))}{2 (2 \cdot 3)} + \frac{- 9}{2}$

Schritt 6.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (1 \cdot (12^{\frac{3}{2}}))}{2 (2 \cdot 3)} + \frac{- 9}{2}$

Schritt 6.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 \cdot (12^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{- 9}{2}$

Schritt 6.5.3

Mutltipliziere $12^{\frac{3}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{12^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 3} + \frac{- 9}{2}$

Schritt 6.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{12^{\frac{3}{2}}}{6} + \frac{- 9}{2}$

Schritt 6.5.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{12^{\frac{3}{2}}}{6} - \frac{9}{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{12^{\frac{3}{2}}}{6} - \frac{9}{2}$

Dezimalform:

$2.42820323 \dots$

Schritt 8