Analysis Beispiele

$\frac{x^{3}}{\sqrt{2 - x^{2}}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x^{3}}{\sqrt{2 - x^{2}}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{2 - x^{2}}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{\sqrt{2 - x^{2}}} d x$

Schritt 4

Sei $x = \sqrt{2} \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \sqrt{2} \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sqrt{2} \cos (t)$ positiv ist.

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{2} \sin (t))}^{2}}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Vereinfache $\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{2} \sin (t))}^{2}}$ .

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Schritt 5.1.1

Wende die Produktregel auf $\sqrt{2} \sin (t)$ an.

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 - ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere ${\sqrt{2}}^{2}$ aus $- ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))$ heraus.

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{2}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere ${\sqrt{2}}^{2}$ aus ${\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{2}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))$ heraus.

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot (1 - (\sin^{2} (t)))}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2^{1} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.6.5

Berechne den Exponenten.

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2 \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2 \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.7

Stelle $2$ und $\cos^{2} (t)$ um.

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 2}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\cos (t) \sqrt{2}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Schritt 5.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{2} \cos (t)$ .

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Schritt 5.2.1.1

Faktorisiere $\sqrt{2} \cos (t)$ aus $\cos (t) \sqrt{2}$ heraus.

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2} \cos (t) (1)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Schritt 5.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2} \cos (t) \cdot 1} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Schritt 5.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\int {(\sqrt{2} \sin (t))}^{3} d t$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.2.1

Wende die Produktregel auf $\sqrt{2} \sin (t)$ an.

$\int {\sqrt{2}}^{3} \sin^{3} (t) d t$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.2.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$\int \sqrt{2^{3}} \sin^{3} (t) d t$

Schritt 5.2.2.2.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\int \sqrt{8} \sin^{3} (t) d t$

Schritt 6

Da $\sqrt{8}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\sqrt{8}$ aus dem Integral.

$\sqrt{8} \int \sin^{3} (t) d t$

Schritt 7

Faktorisiere $\sin^{2} (t)$ aus.

$\sqrt{8} \int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

Schritt 8

Schreibe $\sin^{2} (t)$ in $1 - \cos^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\sqrt{8} \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

Schritt 9

Sei $u = \cos (t)$ . Dann ist $d u = - \sin (t) d t$ , folglich $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 9.1

Es sei $u = \cos (t)$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 9.1.1

Differenziere $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Schritt 9.1.2

Die Ableitung von $\cos (t)$ nach $t$ ist $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Schritt 9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\sqrt{8} \int - 1 + u^{2} d u$

Schritt 10

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\sqrt{8} (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

Schritt 11

Wende die Konstantenregel an.

$\sqrt{8} (- u + C + \int u^{2} d u)$

Schritt 12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\sqrt{8} (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u^{3}$ .

$\sqrt{8} (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Schritt 13.2

Vereinfache.

$2 \sqrt{2} (- u + \frac{u^{3}}{3}) + C$

Schritt 14

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 14.1

Ersetze alle $u$ durch $\cos (t)$ .

$2 \sqrt{2} (- \cos (t) + \frac{\cos^{3} (t)}{3}) + C$

Schritt 14.2

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})$ .

$2 \sqrt{2} (- \cos (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}, \frac{x}{\sqrt{2}})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}, \frac{x}{\sqrt{2}})$ verläuft. Folglich ist $\cos (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))$ $\sqrt{1 - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{1 - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Schritt 15.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Schritt 15.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \frac{x}{\sqrt{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{(1 + \frac{x}{\sqrt{2}}) (1 - \frac{x}{\sqrt{2}})} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Schritt 15.1.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \frac{x}{\sqrt{2}}) (1 - \frac{x}{\sqrt{2}})} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Schritt 15.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}} (1 - \frac{x}{\sqrt{2}})} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Schritt 15.1.6

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \frac{x}{\sqrt{2}})} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Schritt 15.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} - x}{\sqrt{2}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Schritt 15.1.8

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2} - x}{\sqrt{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{\sqrt{2} \sqrt{2}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Schritt 15.1.9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.1.9.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Schritt 15.1.9.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Schritt 15.1.9.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Schritt 15.1.9.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{2}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Schritt 15.1.10

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 15.1.10.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Schritt 15.1.10.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Schritt 15.1.10.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{\frac{2}{2}}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Schritt 15.1.10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.1.10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{\frac{2}{2}}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Schritt 15.1.10.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{1}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Schritt 15.1.10.5

Berechne den Exponenten.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Schritt 15.1.11

Multipliziere $(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 15.1.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} - x) + x (\sqrt{2} - x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Schritt 15.1.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- x) + x (\sqrt{2} - x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Schritt 15.1.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- x) + x \sqrt{2} + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Schritt 15.1.12

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- x) + x \sqrt{2} + x (- x)$ .

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Schritt 15.1.12.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\sqrt{2} (- x)$ und $x \sqrt{2}$ neu an.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} - x \sqrt{2} + x \sqrt{2} + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Schritt 15.1.12.2

Addiere $- x \sqrt{2}$ und $x \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + 0 + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Schritt 15.1.12.3

Addiere $\sqrt{2} \sqrt{2}$ und $0$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Schritt 15.1.13

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.13.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Schritt 15.1.13.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{4} + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Schritt 15.1.13.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2^{2}} + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Schritt 15.1.13.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{2 + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Schritt 15.1.13.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{2 - x \cdot x}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Schritt 15.1.13.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 15.1.13.6.1

Bewege $x$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{2 - (x \cdot x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Schritt 15.1.13.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{2 - x^{2}}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Schritt 15.1.14

Schreibe $\sqrt{\frac{2 - x^{2}}{2}}$ als $\frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ um.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Schritt 15.1.15

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.1.15.1

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{1 - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}}^{3}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}}^{3}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \frac{x}{\sqrt{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{(1 + \frac{x}{\sqrt{2}}) (1 - \frac{x}{\sqrt{2}})}}^{3}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \frac{x}{\sqrt{2}}) (1 - \frac{x}{\sqrt{2}})}}^{3}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}} (1 - \frac{x}{\sqrt{2}})}}^{3}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.6

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \frac{x}{\sqrt{2}})}}^{3}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} - x}{\sqrt{2}}}}^{3}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.8

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2} - x}{\sqrt{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}}^{3}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.1.15.9.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}}^{3}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.9.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}}^{3}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.9.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}}^{3}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.9.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{2}}}}^{3}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.10

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 15.1.15.10.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}}^{3}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.10.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}}^{3}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.10.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{\frac{2}{2}}}}}^{3}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.1.15.10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{\frac{2}{2}}}}}^{3}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.10.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{1}}}}^{3}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.10.5

Berechne den Exponenten.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.11

Multipliziere $(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 15.1.15.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} - x) + x (\sqrt{2} - x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- x) + x (\sqrt{2} - x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- x) + x \sqrt{2} + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.12

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- x) + x \sqrt{2} + x (- x)$ .

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Schritt 15.1.15.12.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\sqrt{2} (- x)$ und $x \sqrt{2}$ neu an.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} - x \sqrt{2} + x \sqrt{2} + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.12.2

Addiere $- x \sqrt{2}$ und $x \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + 0 + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.12.3

Addiere $\sqrt{2} \sqrt{2}$ und $0$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.13

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.15.13.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.13.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{4} + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.13.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2^{2}} + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.13.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{2 + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.13.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{2 - x \cdot x}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.13.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 15.1.15.13.6.1

Bewege $x$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{2 - (x \cdot x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.13.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{2 - x^{2}}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.14

Schreibe $\sqrt{\frac{2 - x^{2}}{2}}$ als $\frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ um.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{(\frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}})}^{3}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.15

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ an.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{{\sqrt{2 - x^{2}}}^{3}}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.16

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.1.15.16.1

Schreibe ${\sqrt{2 - x^{2}}}^{3}$ als $\sqrt{{(2 - x^{2})}^{3}}$ um.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{{(2 - x^{2})}^{3}}}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.16.2

Faktorisiere ${(2 - x^{2})}^{2}$ aus.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{{(2 - x^{2})}^{2} (2 - x^{2})}}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.16.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{(2 - x^{2}) \sqrt{2 - x^{2}}}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.16.4

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{2 \sqrt{2 - x^{2}} - x^{2} \sqrt{2 - x^{2}}}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.16.5

Faktorisiere $\sqrt{2 - x^{2}}$ aus $2 \sqrt{2 - x^{2}} - x^{2} \sqrt{2 - x^{2}}$ heraus.

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Schritt 15.1.15.16.5.1

Faktorisiere $\sqrt{2 - x^{2}}$ aus $2 \sqrt{2 - x^{2}}$ heraus.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} \cdot 2 - x^{2} \sqrt{2 - x^{2}}}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.16.5.2

Faktorisiere $\sqrt{2 - x^{2}}$ aus $- x^{2} \sqrt{2 - x^{2}}$ heraus.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} \cdot 2 + \sqrt{2 - x^{2}} (- x^{2})}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.16.5.3

Faktorisiere $\sqrt{2 - x^{2}}$ aus $\sqrt{2 - x^{2}} \cdot 2 + \sqrt{2 - x^{2}} (- x^{2})$ heraus.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.17

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.1.15.17.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{\sqrt{2^{3}}}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.17.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{\sqrt{8}}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.17.3

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 15.1.15.17.3.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{\sqrt{4 (2)}}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.17.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}}{3}) + C$

Schritt 15.1.15.17.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{2 \sqrt{2}}}{3}) + C$

Schritt 15.1.16

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{1}{3}) + C$

Schritt 15.1.17

Kombinieren.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2}) \cdot 1}{2 \sqrt{2} \cdot 3}) + C$

Schritt 15.1.18

Mutltipliziere $\sqrt{2 - x^{2}}$ mit $1$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{2 \sqrt{2} \cdot 3}) + C$

Schritt 15.1.19

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{6 \sqrt{2}}) + C$

Schritt 15.2

Um $- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{6}{6} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{6 \sqrt{2}}) + C$

Schritt 15.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\sqrt{2} \cdot 6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 15.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6}{\sqrt{2} \cdot 6} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{6 \sqrt{2}}) + C$

Schritt 15.3.2

Stelle die Faktoren von $\sqrt{2} \cdot 6$ um.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6}{6 \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{6 \sqrt{2}}) + C$

Schritt 15.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6 + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{6 \sqrt{2}} + C$

Schritt 15.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 \sqrt{2}$ .

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Schritt 15.5.1

Faktorisiere $2 \sqrt{2}$ aus $6 \sqrt{2}$ heraus.

$2 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6 + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{2 \sqrt{2} (3)} + C$

Schritt 15.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6 + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{2 \sqrt{2} \cdot 3} + C$

Schritt 15.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6 + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{3} + C$

Schritt 15.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.6.1

Faktorisiere $\sqrt{2 - x^{2}}$ aus $- \sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6 + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})$ heraus.

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Schritt 15.6.1.1

Faktorisiere $\sqrt{2 - x^{2}}$ aus $- \sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6$ heraus.

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 1 \cdot 6) + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{3} + C$

Schritt 15.6.1.2

Faktorisiere $\sqrt{2 - x^{2}}$ aus $\sqrt{2 - x^{2}} (- 1 \cdot 6) + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})$ heraus.

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 1 \cdot 6 + 2 - x^{2})}{3} + C$

Schritt 15.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 6 + 2 - x^{2})}{3} + C$

Schritt 15.6.3

Addiere $- 6$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 4 - x^{2})}{3} + C$

Schritt 15.7

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 1 (4) - x^{2})}{3} + C$

Schritt 15.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 1 (4) - (x^{2}))}{3} + C$

Schritt 15.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (4) - (x^{2})$ heraus.

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 1 (4 + x^{2}))}{3} + C$

Schritt 15.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (4 + x^{2})}{3} + C$

Schritt 16

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{2 - x^{2}}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (4 + x^{2})}{3} + C$