Analysis Beispiele

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - 2 x^{5}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{1}{6} x^{6} - 2 x^{5}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{6}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- \frac{1}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{6} x^{6}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$- \frac{1}{6} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$- 6 (\frac{1}{6}) x^{5} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

Schritt 1.1.2.4

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 6}{6} x^{5} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

Schritt 1.1.2.5

Kombiniere $\frac{- 6}{6}$ und $x^{5}$ .

$\frac{- 6 x^{5}}{6} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

Schritt 1.1.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $6$ .

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Schritt 1.1.2.6.1

Faktorisiere $6$ aus $- 6 x^{5}$ heraus.

$\frac{6 (- x^{5})}{6} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

Schritt 1.1.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.6.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$\frac{6 (- x^{5})}{6 (1)} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

Schritt 1.1.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (- x^{5})}{6 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

Schritt 1.1.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x^{5}}{1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

Schritt 1.1.2.6.2.4

Dividiere $- x^{5}$ durch $1$ .

$- x^{5} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{5}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- x^{5} - 2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- x^{5} - 2 (5 x^{4})$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$f' (x) = - x^{5} - 10 x^{4}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{5} - 10 x^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{5}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 5 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 5 x^{4} - 10 (4 x^{3})$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 10$ .

$f'' (x) = - 5 x^{4} - 40 x^{3}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 5 x^{4} - 40 x^{3}$ .

$- 5 x^{4} - 40 x^{3}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 5 x^{4} - 40 x^{3} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- 5 x^{4} - 40 x^{3} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $- 5 x^{3}$ aus $- 5 x^{4} - 40 x^{3}$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $- 5 x^{3}$ aus $- 5 x^{4}$ heraus.

$- 5 x^{3} x - 40 x^{3} = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $- 5 x^{3}$ aus $- 40 x^{3}$ heraus.

$- 5 x^{3} x - 5 x^{3} \cdot 8 = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $- 5 x^{3}$ aus $- 5 x^{3} (x) - 5 x^{3} (8)$ heraus.

$- 5 x^{3} (x + 8) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

$x + 8 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x^{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{3}$ gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{3} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 2.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 2.4.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $x + 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 8$ gleich $0$ .

$x + 8 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 8$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 5 x^{3} (x + 8) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 8$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $0$ in $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - 2 x^{5}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - \frac{1}{6} \cdot {(0)}^{6} - 2 {(0)}^{5}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = - \frac{1}{6} \cdot 0 - 2 {(0)}^{5}$

Schritt 3.1.2.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{6} \cdot 0$ .

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Schritt 3.1.2.1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$f (0) = 0 (\frac{1}{6}) - 2 {(0)}^{5}$

Schritt 3.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{6}$ .

$f (0) = 0 - 2 {(0)}^{5}$

Schritt 3.1.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0$

Schritt 3.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Schritt 3.1.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - 2 x^{5}$ ermittelt werden kann, ist $(0, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 0)$

Schritt 3.3

Ersetze $- 8$ in $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - 2 x^{5}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 8$ .

$f (- 8) = - \frac{1}{6} \cdot {(- 8)}^{6} - 2 {(- 8)}^{5}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Potenziere $- 8$ mit $6$ .

$f (- 8) = - \frac{1}{6} \cdot 262144 - 2 {(- 8)}^{5}$

Schritt 3.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{6}$ in den Zähler.

$f (- 8) = \frac{- 1}{6} \cdot 262144 - 2 {(- 8)}^{5}$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (- 8) = \frac{- 1}{2 (3)} \cdot 262144 - 2 {(- 8)}^{5}$

Schritt 3.3.2.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $262144$ heraus.

$f (- 8) = \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 131072) - 2 {(- 8)}^{5}$

Schritt 3.3.2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 8) = \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 131072) - 2 {(- 8)}^{5}$

Schritt 3.3.2.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$f (- 8) = \frac{- 1}{3} \cdot 131072 - 2 {(- 8)}^{5}$

Schritt 3.3.2.1.3

Kombiniere $\frac{- 1}{3}$ und $131072$ .

$f (- 8) = \frac{- 1 \cdot 131072}{3} - 2 {(- 8)}^{5}$

Schritt 3.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $131072$ .

$f (- 8) = \frac{- 131072}{3} - 2 {(- 8)}^{5}$

Schritt 3.3.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 8) = - \frac{131072}{3} - 2 {(- 8)}^{5}$

Schritt 3.3.2.1.6

Potenziere $- 8$ mit $5$ .

$f (- 8) = - \frac{131072}{3} - 2 \cdot - 32768$

Schritt 3.3.2.1.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 32768$ .

$f (- 8) = - \frac{131072}{3} + 65536$

Schritt 3.3.2.2

Um $65536$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 8) = - \frac{131072}{3} + 65536 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.3.2.3

Kombiniere $65536$ und $\frac{3}{3}$ .

$f (- 8) = - \frac{131072}{3} + \frac{65536 \cdot 3}{3}$

Schritt 3.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 8) = \frac{- 131072 + 65536 \cdot 3}{3}$

Schritt 3.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.2.5.1

Mutltipliziere $65536$ mit $3$ .

$f (- 8) = \frac{- 131072 + 196608}{3}$

Schritt 3.3.2.5.2

Addiere $- 131072$ und $196608$ .

$f (- 8) = \frac{65536}{3}$

Schritt 3.3.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{65536}{3}$ .

$\frac{65536}{3}$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 8$ in $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - 2 x^{5}$ ermittelt werden kann, ist $(- 8, \frac{65536}{3})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 8, \frac{65536}{3})$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, 0), (- 8, \frac{65536}{3})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 8)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 8.1$ .

$f'' (- 8.1) = - 5 {(- 8.1)}^{4} - 40 {(- 8.1)}^{3}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 8.1$ mit $4$ .

$f'' (- 8.1) = - 5 \cdot 4304.6721 - 40 {(- 8.1)}^{3}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $4304.6721$ .

$f'' (- 8.1) = - 21523.3605 - 40 {(- 8.1)}^{3}$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $- 8.1$ mit $3$ .

$f'' (- 8.1) = - 21523.3605 - 40 \cdot - 531.441$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $- 40$ mit $- 531.441$ .

$f'' (- 8.1) = - 21523.3605 + 21257.64$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 21523.3605$ und $21257.64$ .

$f'' (- 8.1) = - 265.7205$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 265.7205$ .

$- 265.7205$

Schritt 5.3

Bei $- 8.1$ , die zweite Ableitung ist $- 265.7205$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - 8)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 8)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 8, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f'' (- 4) = - 5 {(- 4)}^{4} - 40 {(- 4)}^{3}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $4$ .

$f'' (- 4) = - 5 \cdot 256 - 40 {(- 4)}^{3}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $256$ .

$f'' (- 4) = - 1280 - 40 {(- 4)}^{3}$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$f'' (- 4) = - 1280 - 40 \cdot - 64$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $- 40$ mit $- 64$ .

$f'' (- 4) = - 1280 + 2560$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 1280$ und $2560$ .

$f'' (- 4) = 1280$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $1280$ .

$1280$

Schritt 6.3

Bei $- 4$ ist die zweite Ableitung $1280$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- 8, 0)$ .

Ansteigend im Intervall $(- 8, 0)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.1$ .

$f'' (0.1) = - 5 {(0.1)}^{4} - 40 {(0.1)}^{3}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $0.1$ mit $4$ .

$f'' (0.1) = - 5 \cdot 0.0001 - 40 {(0.1)}^{3}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $0.0001$ .

$f'' (0.1) = - 0.0005 - 40 {(0.1)}^{3}$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $0.1$ mit $3$ .

$f'' (0.1) = - 0.0005 - 40 \cdot 0.001$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $- 40$ mit $0.001$ .

$f'' (0.1) = - 0.0005 - 0.04$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $0.04$ von $- 0.0005$ .

$f'' (0.1) = - 0.0405$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.0405$ .

$- 0.0405$

Schritt 7.3

Bei $0.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.0405$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(0, \infty)$

Abfallend im Intervall $(0, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(- 8, \frac{65536}{3}), (0, 0)$ .

$(- 8, \frac{65536}{3}), (0, 0)$

Schritt 9