Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}]$ als $\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$ um.

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Schritt 1.1.1.1

Schreibe $x^{3} + 3 x^{2}$ als $x^{2} (x + 3)$ um.

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Schritt 1.1.1.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + 3 x^{2}}]$

Schritt 1.1.1.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}]$

Schritt 1.1.1.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} (x + 3)}]$

Schritt 1.1.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$

Schritt 1.1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 3}$ als ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x + 3$ .

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Schritt 1.1.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 3$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 3$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.8.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.9.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.9.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.9.3

Bringe ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.9.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.12

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.13

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.13.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.13.2

Mutltipliziere $\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 1.1.15

Mutltipliziere ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.16

Um ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.17

Kombiniere ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.19

Multipliziere ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.19.1

Bewege ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.19.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.19.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.19.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.19.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.20

Vereinfache ${(x + 3)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{x + (x + 3) \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.21

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x + 3$ .

$\frac{x + 2 \cdot (x + 3)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.22

Vereinfache.

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Schritt 1.1.22.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x + 2 x + 2 \cdot 3}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.22.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.22.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{x + 2 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.22.2.2

Addiere $x$ und $2 x$ .

$\frac{3 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.22.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 6$ heraus.

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Schritt 1.1.22.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{3 (x) + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.22.3.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 x + 3 \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.22.3.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot 2$ heraus.

$f' (x) = \frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$3 (x + 2) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (x + 2) = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (x + 2) = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 (x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 2.3.1.2.1.2

Dividiere $x + 2$ durch $1$ .

$x + 2 = \frac{0}{3}$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{3 (x + 2)}{2 \sqrt{{(x + 3)}^{1}}}$

Schritt 3.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{3 (x + 2)}{2 \sqrt{x + 3}}$

Schritt 3.2

Setze den Nenner in $\frac{3 (x + 2)}{2 \sqrt{x + 3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 \sqrt{x + 3} = 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{x + 3})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 3}$ als ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Vereinfache ${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(x + 3)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$4 (x + 3) = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 4 \cdot 3 = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$4 x + 12 = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 x + 12 = 0$

Schritt 3.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.1

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 12$

Schritt 3.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 12$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 12$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 12}{4}$

Schritt 3.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 12}{4}$

Schritt 3.3.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 12}{4}$

Schritt 3.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.2.3.1

Dividiere $- 12$ durch $4$ .

$x = - 3$

Schritt 3.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{x + 3}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 3 < 0$

Schritt 3.5

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x < - 3$

Schritt 3.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

Schritt 4

Werte $\sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = - 2$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $- 2$ .

$\sqrt{{(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$\sqrt{- 8 + 3 {(- 2)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\sqrt{- 8 + 3 \cdot 4}$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\sqrt{- 8 + 12}$

Schritt 4.1.2.4

Addiere $- 8$ und $12$ .

$\sqrt{4}$

Schritt 4.1.2.5

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{2^{2}}$

Schritt 4.1.2.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$2$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = - 3$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $- 3$ .

$\sqrt{{(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$\sqrt{- 27 + 3 {(- 3)}^{2}}$

Schritt 4.2.2.2

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\sqrt{- 27 + 3 \cdot 9}$

Schritt 4.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$\sqrt{- 27 + 27}$

Schritt 4.2.2.4

Addiere $- 27$ und $27$ .

$\sqrt{0}$

Schritt 4.2.2.5

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.2.2.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$0$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(- 2, 2), (- 3, 0)$

Schritt 5