Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{16 x^{2} + 3}}{2 x + 5}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $- \sqrt{x^{2}} = x$ ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}}{\frac{2 x}{x} + \frac{5}{x}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}}{2 + \frac{5}{x}}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}}{2 + \frac{5}{x}}$

Schritt 2.2.2

Dividiere $16$ durch $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{16 + \frac{3}{x^{2}}}}{2 + \frac{5}{x}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{16 + \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{5}{x}}$

Schritt 2.4

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{16 + \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{5}{x}}$

Schritt 2.5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 16 + \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{5}{x}}$

Schritt 2.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 16 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{5}{x}}$

Schritt 2.7

Berechne den Grenzwert von $16$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{16 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{5}{x}}$

Schritt 2.8

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- \sqrt{16 + 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{5}{x}}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{- \sqrt{16 + 3 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{5}{x}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{16 + 3 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 2 + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{16 + 3 \cdot 0}}{2 + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

Schritt 4.3

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- \sqrt{16 + 3 \cdot 0}}{2 + 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{- \sqrt{16 + 3 \cdot 0}}{2 + 5 \cdot 0}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{- \sqrt{16 + 0}}{2 + 5 \cdot 0}$

Schritt 6.1.2

Addiere $16$ und $0$ .

$\frac{- \sqrt{16}}{2 + 5 \cdot 0}$

Schritt 6.1.3

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{- \sqrt{4^{2}}}{2 + 5 \cdot 0}$

Schritt 6.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{- 1 \cdot 4}{2 + 5 \cdot 0}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 4}{2 + 0}$

Schritt 6.2.2

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 4}{2}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{- 4}{2}$

Schritt 6.4

Dividiere $- 4$ durch $2$ .

$- 2$