Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} x^{2} \cdot 2^{x} d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = 2^{x}$ .

$x^{2} (\frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{x} (2 x) d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{\ln (2)}$ und $2^{x}$ .

$x^{2} \frac{2^{x}}{\ln (2)}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{x} (2 x) d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{2^{x}}{\ln (2)}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2^{x}}{\ln (2)}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{x} (2 x) d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{\ln (2)} \cdot 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{\ln (2)} \cdot 2$ aus dem Integral.

$\frac{x^{2} \cdot 2^{x}}{\ln (2)}]_{0}^{1} - (\frac{1}{\ln (2)} \cdot 2 \int_{0}^{1} 2^{x - 1} (2 x) d x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{\ln (2)}$ und $2$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2^{x}}{\ln (2)}]_{0}^{1} - (\frac{2}{\ln (2)} \int_{0}^{1} 2^{x - 1} (2 x) d x)$

Schritt 4.2

Multipliziere $2^{x - 1}$ mit $2$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1

Bewege $2$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2^{x}}{\ln (2)}]_{0}^{1} - (\frac{2}{\ln (2)} \int_{0}^{1} 2 \cdot 2^{x - 1} x d x)$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2^{x - 1}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2^{x}}{\ln (2)}]_{0}^{1} - (\frac{2}{\ln (2)} \int_{0}^{1} 2^{1} \cdot 2^{x - 1} x d x)$

Schritt 4.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{2} \cdot 2^{x}}{\ln (2)}]_{0}^{1} - (\frac{2}{\ln (2)} \int_{0}^{1} 2^{1 + x - 1} x d x)$

Schritt 4.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + x - 1$ .

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Schritt 4.2.3.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2^{x}}{\ln (2)}]_{0}^{1} - (\frac{2}{\ln (2)} \int_{0}^{1} 2^{x + 0} x d x)$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2^{x}}{\ln (2)}]_{0}^{1} - (\frac{2}{\ln (2)} \int_{0}^{1} 2^{x} x d x)$

$\frac{x^{2} \cdot 2^{x}}{\ln (2)}]_{0}^{1} - \frac{2}{\ln (2)} \int_{0}^{1} 2^{x} x d x$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = 2^{x}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2^{x}}{\ln (2)}]_{0}^{1} - \frac{2}{\ln (2)} (x (\frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{x} d x)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{\ln (2)}$ und $2^{x}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2^{x}}{\ln (2)}]_{0}^{1} - \frac{2}{\ln (2)} (x \frac{2^{x}}{\ln (2)}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{x} d x)$

Schritt 6.2

Kombiniere $x$ und $\frac{2^{x}}{\ln (2)}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2^{x}}{\ln (2)}]_{0}^{1} - \frac{2}{\ln (2)} (\frac{x \cdot 2^{x}}{\ln (2)}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{x} d x)$

Schritt 6.3

Kombiniere $\frac{1}{\ln (2)}$ und $2^{x}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2^{x}}{\ln (2)}]_{0}^{1} - \frac{2}{\ln (2)} (\frac{x \cdot 2^{x}}{\ln (2)}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2^{x}}{\ln (2)} d x)$

Schritt 7

Da $\frac{1}{\ln (2)}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{\ln (2)}$ aus dem Integral.

$\frac{x^{2} \cdot 2^{x}}{\ln (2)}]_{0}^{1} - \frac{2}{\ln (2)} (\frac{x \cdot 2^{x}}{\ln (2)}]_{0}^{1} - (\frac{1}{\ln (2)} \int_{0}^{1} 2^{x} d x))$

Schritt 8

Das Integral von $2^{x}$ nach $x$ ist $\frac{2^{x}}{\ln (2)}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2^{x}}{\ln (2)}]_{0}^{1} - \frac{2}{\ln (2)} (\frac{x \cdot 2^{x}}{\ln (2)}]_{0}^{1} - \frac{1}{\ln (2)} \frac{2^{x}}{\ln (2)}]_{0}^{1})$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{2^{x}}{\ln (2)}]_{0}^{1}$ und $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2^{x}}{\ln (2)}]_{0}^{1} - \frac{2}{\ln (2)} (\frac{x \cdot 2^{x}}{\ln (2)}]_{0}^{1} - \frac{\frac{2^{x}}{\ln (2)}]_{0}^{1}}{\ln (2)})$

Schritt 9.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Berechne $\frac{x^{2} \cdot 2^{x}}{\ln (2)}$ bei $1$ und $0$ .

$(\frac{1^{2} \cdot 2^{1}}{\ln (2)}) - \frac{0^{2} \cdot 2^{0}}{\ln (2)} - \frac{2}{\ln (2)} (\frac{x \cdot 2^{x}}{\ln (2)}]_{0}^{1} - \frac{\frac{2^{x}}{\ln (2)}]_{0}^{1}}{\ln (2)})$

Schritt 9.2.2

Berechne $\frac{x \cdot 2^{x}}{\ln (2)}$ bei $1$ und $0$ .

$(\frac{1^{2} \cdot 2^{1}}{\ln (2)}) - \frac{0^{2} \cdot 2^{0}}{\ln (2)} - \frac{2}{\ln (2)} ((\frac{1 \cdot 2^{1}}{\ln (2)}) - \frac{0 \cdot 2^{0}}{\ln (2)} - \frac{\frac{2^{x}}{\ln (2)}]_{0}^{1}}{\ln (2)})$

Schritt 9.2.3

Berechne $\frac{2^{x}}{\ln (2)}$ bei $1$ und $0$ .

$(\frac{1^{2} \cdot 2^{1}}{\ln (2)}) - \frac{0^{2} \cdot 2^{0}}{\ln (2)} - \frac{2}{\ln (2)} ((\frac{1 \cdot 2^{1}}{\ln (2)}) - \frac{0 \cdot 2^{0}}{\ln (2)} - \frac{(\frac{2^{1}}{\ln (2)}) - \frac{2^{0}}{\ln (2)}}{\ln (2)})$

Schritt 9.2.4

Vereinfache.

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Schritt 9.2.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 \cdot 2^{1}}{\ln (2)} - \frac{0^{2} \cdot 2^{0}}{\ln (2)} - \frac{2}{\ln (2)} ((\frac{1 \cdot 2^{1}}{\ln (2)}) - \frac{0 \cdot 2^{0}}{\ln (2)} - \frac{(\frac{2^{1}}{\ln (2)}) - \frac{2^{0}}{\ln (2)}}{\ln (2)})$

Schritt 9.2.4.2

Berechne den Exponenten.

$\frac{1 \cdot 2}{\ln (2)} - \frac{0^{2} \cdot 2^{0}}{\ln (2)} - \frac{2}{\ln (2)} ((\frac{1 \cdot 2^{1}}{\ln (2)}) - \frac{0 \cdot 2^{0}}{\ln (2)} - \frac{(\frac{2^{1}}{\ln (2)}) - \frac{2^{0}}{\ln (2)}}{\ln (2)})$

Schritt 9.2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2}{\ln (2)} - \frac{0^{2} \cdot 2^{0}}{\ln (2)} - \frac{2}{\ln (2)} ((\frac{1 \cdot 2^{1}}{\ln (2)}) - \frac{0 \cdot 2^{0}}{\ln (2)} - \frac{(\frac{2^{1}}{\ln (2)}) - \frac{2^{0}}{\ln (2)}}{\ln (2)})$

Schritt 9.2.4.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2}{\ln (2)} - \frac{0 \cdot 2^{0}}{\ln (2)} - \frac{2}{\ln (2)} ((\frac{1 \cdot 2^{1}}{\ln (2)}) - \frac{0 \cdot 2^{0}}{\ln (2)} - \frac{(\frac{2^{1}}{\ln (2)}) - \frac{2^{0}}{\ln (2)}}{\ln (2)})$

Schritt 9.2.4.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{2}{\ln (2)} - \frac{0 \cdot 1}{\ln (2)} - \frac{2}{\ln (2)} ((\frac{1 \cdot 2^{1}}{\ln (2)}) - \frac{0 \cdot 2^{0}}{\ln (2)} - \frac{(\frac{2^{1}}{\ln (2)}) - \frac{2^{0}}{\ln (2)}}{\ln (2)})$

Schritt 9.2.4.6

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{2}{\ln (2)} - \frac{0}{\ln (2)} - \frac{2}{\ln (2)} ((\frac{1 \cdot 2^{1}}{\ln (2)}) - \frac{0 \cdot 2^{0}}{\ln (2)} - \frac{(\frac{2^{1}}{\ln (2)}) - \frac{2^{0}}{\ln (2)}}{\ln (2)})$

Schritt 9.2.4.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 + 0}{\ln (2)} - \frac{2}{\ln (2)} ((\frac{1 \cdot 2^{1}}{\ln (2)}) - \frac{0 \cdot 2^{0}}{\ln (2)} - \frac{(\frac{2^{1}}{\ln (2)}) - \frac{2^{0}}{\ln (2)}}{\ln (2)})$

Schritt 9.2.4.8

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{2}{\ln (2)} - \frac{2}{\ln (2)} ((\frac{1 \cdot 2^{1}}{\ln (2)}) - \frac{0 \cdot 2^{0}}{\ln (2)} - \frac{(\frac{2^{1}}{\ln (2)}) - \frac{2^{0}}{\ln (2)}}{\ln (2)})$

Schritt 9.2.4.9

Berechne den Exponenten.

$\frac{2}{\ln (2)} - \frac{2}{\ln (2)} (\frac{1 \cdot 2}{\ln (2)} - \frac{0 \cdot 2^{0}}{\ln (2)} - \frac{(\frac{2^{1}}{\ln (2)}) - \frac{2^{0}}{\ln (2)}}{\ln (2)})$

Schritt 9.2.4.10

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2}{\ln (2)} - \frac{2}{\ln (2)} (\frac{2}{\ln (2)} - \frac{0 \cdot 2^{0}}{\ln (2)} - \frac{(\frac{2^{1}}{\ln (2)}) - \frac{2^{0}}{\ln (2)}}{\ln (2)})$

Schritt 9.2.4.11

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{2}{\ln (2)} - \frac{2}{\ln (2)} (\frac{2}{\ln (2)} - \frac{0 \cdot 1}{\ln (2)} - \frac{(\frac{2^{1}}{\ln (2)}) - \frac{2^{0}}{\ln (2)}}{\ln (2)})$

Schritt 9.2.4.12

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{2}{\ln (2)} - \frac{2}{\ln (2)} (\frac{2}{\ln (2)} - \frac{0}{\ln (2)} - \frac{(\frac{2^{1}}{\ln (2)}) - \frac{2^{0}}{\ln (2)}}{\ln (2)})$

Schritt 9.2.4.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{\ln (2)} - \frac{2}{\ln (2)} (\frac{2 + 0}{\ln (2)} - \frac{(\frac{2^{1}}{\ln (2)}) - \frac{2^{0}}{\ln (2)}}{\ln (2)})$

Schritt 9.2.4.14

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{2}{\ln (2)} - \frac{2}{\ln (2)} (\frac{2}{\ln (2)} - \frac{(\frac{2^{1}}{\ln (2)}) - \frac{2^{0}}{\ln (2)}}{\ln (2)})$

Schritt 9.2.4.15

Berechne den Exponenten.

$\frac{2}{\ln (2)} - \frac{2}{\ln (2)} (\frac{2}{\ln (2)} - \frac{\frac{2}{\ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}}{\ln (2)})$

Schritt 9.2.4.16

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{2}{\ln (2)} - \frac{2}{\ln (2)} (\frac{2}{\ln (2)} - \frac{\frac{2}{\ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}}{\ln (2)})$

Schritt 9.2.4.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{\ln (2)} - \frac{2}{\ln (2)} (\frac{2}{\ln (2)} - \frac{\frac{2 - 1}{\ln (2)}}{\ln (2)})$

Schritt 9.2.4.18

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{2}{\ln (2)} - \frac{2}{\ln (2)} (\frac{2}{\ln (2)} - \frac{\frac{1}{\ln (2)}}{\ln (2)})$

Schritt 9.2.4.19

Schreibe $\frac{\frac{1}{\ln (2)}}{\ln (2)}$ als ein Produkt um.

$\frac{2}{\ln (2)} - \frac{2}{\ln (2)} (\frac{2}{\ln (2)} - (\frac{1}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{\ln (2)}))$

Schritt 9.2.4.20

Mutltipliziere $\frac{1}{\ln (2)}$ mit $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$\frac{2}{\ln (2)} - \frac{2}{\ln (2)} (\frac{2}{\ln (2)} - \frac{1}{\ln (2) \ln (2)})$

Schritt 9.2.4.21

Potenziere $\ln (2)$ mit $1$ .

$\frac{2}{\ln (2)} - \frac{2}{\ln (2)} (\frac{2}{\ln (2)} - \frac{1}{\ln^{1} (2) \ln (2)})$

Schritt 9.2.4.22

Potenziere $\ln (2)$ mit $1$ .

$\frac{2}{\ln (2)} - \frac{2}{\ln (2)} (\frac{2}{\ln (2)} - \frac{1}{\ln^{1} (2) \ln^{1} (2)})$

Schritt 9.2.4.23

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2}{\ln (2)} - \frac{2}{\ln (2)} (\frac{2}{\ln (2)} - \frac{1}{{\ln (2)}^{1 + 1}})$

Schritt 9.2.4.24

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{\ln (2)} - \frac{2}{\ln (2)} (\frac{2}{\ln (2)} - \frac{1}{\ln^{2} (2)})$

Schritt 9.2.4.25

Um $- \frac{2}{\ln (2)} (\frac{2}{\ln (2)} - \frac{1}{\ln^{2} (2)})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\ln (2)}{\ln (2)}$ .

$\frac{2}{\ln (2)} - \frac{2}{\ln (2)} (\frac{2}{\ln (2)} - \frac{1}{\ln^{2} (2)}) \cdot \frac{\ln (2)}{\ln (2)}$

Schritt 9.2.4.26

Kombiniere $- \frac{2}{\ln (2)} (\frac{2}{\ln (2)} - \frac{1}{\ln^{2} (2)})$ und $\frac{\ln (2)}{\ln (2)}$ .

$\frac{2}{\ln (2)} + \frac{- \frac{2}{\ln (2)} (\frac{2}{\ln (2)} - \frac{1}{\ln^{2} (2)}) \ln (2)}{\ln (2)}$

Schritt 9.2.4.27

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 - \frac{2}{\ln (2)} (\frac{2}{\ln (2)} - \frac{1}{\ln^{2} (2)}) \ln (2)}{\ln (2)}$

Schritt 9.2.4.28

Kombiniere $\ln (2)$ und $\frac{2}{\ln (2)}$ .

$\frac{2 - \frac{\ln (2) \cdot 2}{\ln (2)} (\frac{2}{\ln (2)} - \frac{1}{\ln^{2} (2)})}{\ln (2)}$

Schritt 9.2.4.29

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\ln (2)$ .

$\frac{2 - \frac{2 \cdot \ln (2)}{\ln (2)} (\frac{2}{\ln (2)} - \frac{1}{\ln^{2} (2)})}{\ln (2)}$

Schritt 9.2.4.30

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 9.2.4.30.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 - \frac{2 \ln (2)}{\ln (2)} (\frac{2}{\ln (2)} - \frac{1}{\ln^{2} (2)})}{\ln (2)}$

Schritt 9.2.4.30.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 2 (\frac{2}{\ln (2)} - \frac{1}{\ln^{2} (2)})}{\ln (2)}$

Schritt 9.2.4.31

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 - 2 (\frac{2}{\ln (2)} - \frac{1}{\ln^{2} (2)})}{\ln (2)}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 - 2 \frac{2}{\ln (2)} - 2 (- \frac{1}{\ln^{2} (2)})}{\ln (2)}$

Schritt 10.1.2

Multipliziere $- 2 \frac{2}{\ln (2)}$ .

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Schritt 10.1.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{\ln (2)}$ .

$\frac{2 + \frac{- 2 \cdot 2}{\ln (2)} - 2 (- \frac{1}{\ln^{2} (2)})}{\ln (2)}$

Schritt 10.1.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{2 + \frac{- 4}{\ln (2)} - 2 (- \frac{1}{\ln^{2} (2)})}{\ln (2)}$

Schritt 10.1.3

Multipliziere $- 2 (- \frac{1}{\ln^{2} (2)})$ .

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Schritt 10.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{2 + \frac{- 4}{\ln (2)} + 2 \frac{1}{\ln^{2} (2)}}{\ln (2)}$

Schritt 10.1.3.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{\ln^{2} (2)}$ .

$\frac{2 + \frac{- 4}{\ln (2)} + \frac{2}{\ln^{2} (2)}}{\ln (2)}$

Schritt 10.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2 - \frac{4}{\ln (2)} + \frac{2}{\ln^{2} (2)}}{\ln (2)}$

Schritt 10.1.5

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\ln (2)}{\ln (2)}$ .

$\frac{\frac{2 \ln (2)}{\ln (2)} - \frac{4}{\ln (2)} + \frac{2}{\ln^{2} (2)}}{\ln (2)}$

Schritt 10.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2 \ln (2) - 4}{\ln (2)} + \frac{2}{\ln^{2} (2)}}{\ln (2)}$

Schritt 10.1.7

Um $\frac{2 \ln (2) - 4}{\ln (2)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\ln (2)}{\ln (2)}$ .

$\frac{\frac{2 \ln (2) - 4}{\ln (2)} \cdot \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{2}{\ln^{2} (2)}}{\ln (2)}$

Schritt 10.1.8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\ln^{2} (2)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 10.1.8.1

Mutltipliziere $\frac{2 \ln (2) - 4}{\ln (2)}$ mit $\frac{\ln (2)}{\ln (2)}$ .

$\frac{\frac{(2 \ln (2) - 4) \ln (2)}{\ln (2) \ln (2)} + \frac{2}{\ln^{2} (2)}}{\ln (2)}$

Schritt 10.1.8.2

Potenziere $\ln (2)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{(2 \ln (2) - 4) \ln (2)}{\ln^{1} (2) \ln (2)} + \frac{2}{\ln^{2} (2)}}{\ln (2)}$

Schritt 10.1.8.3

Potenziere $\ln (2)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{(2 \ln (2) - 4) \ln (2)}{\ln^{1} (2) \ln^{1} (2)} + \frac{2}{\ln^{2} (2)}}{\ln (2)}$

Schritt 10.1.8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{(2 \ln (2) - 4) \ln (2)}{{\ln (2)}^{1 + 1}} + \frac{2}{\ln^{2} (2)}}{\ln (2)}$

Schritt 10.1.8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{(2 \ln (2) - 4) \ln (2)}{\ln^{2} (2)} + \frac{2}{\ln^{2} (2)}}{\ln (2)}$

Schritt 10.1.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{(2 \ln (2) - 4) \ln (2) + 2}{\ln^{2} (2)}}{\ln (2)}$

Schritt 10.1.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{2 \ln (2) \ln (2) - 4 \ln (2) + 2}{\ln^{2} (2)}}{\ln (2)}$

Schritt 10.1.10.2

Multipliziere $2 \ln (2) \ln (2)$ .

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Schritt 10.1.10.2.1

Potenziere $\ln (2)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{2 (\ln^{1} (2) \ln (2)) - 4 \ln (2) + 2}{\ln^{2} (2)}}{\ln (2)}$

Schritt 10.1.10.2.2

Potenziere $\ln (2)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{2 (\ln^{1} (2) \ln^{1} (2)) - 4 \ln (2) + 2}{\ln^{2} (2)}}{\ln (2)}$

Schritt 10.1.10.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{2 {\ln (2)}^{1 + 1} - 4 \ln (2) + 2}{\ln^{2} (2)}}{\ln (2)}$

Schritt 10.1.10.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{2 \ln^{2} (2) - 4 \ln (2) + 2}{\ln^{2} (2)}}{\ln (2)}$

Schritt 10.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{2 \ln^{2} (2) - 4 \ln (2) + 2}{\ln^{2} (2)} \cdot \frac{1}{\ln (2)}$

Schritt 10.3

Multipliziere $\frac{2 \ln^{2} (2) - 4 \ln (2) + 2}{\ln^{2} (2)} \cdot \frac{1}{\ln (2)}$ .

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 \ln^{2} (2) - 4 \ln (2) + 2}{\ln^{2} (2)}$ mit $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$\frac{2 \ln^{2} (2) - 4 \ln (2) + 2}{\ln^{2} (2) \ln (2)}$

Schritt 10.3.2

Multipliziere $\ln^{2} (2)$ mit $\ln (2)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.3.2.1

Mutltipliziere $\ln^{2} (2)$ mit $\ln (2)$ .

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Schritt 10.3.2.1.1

Potenziere $\ln (2)$ mit $1$ .

$\frac{2 \ln^{2} (2) - 4 \ln (2) + 2}{\ln^{2} (2) \ln^{1} (2)}$

Schritt 10.3.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \ln^{2} (2) - 4 \ln (2) + 2}{{\ln (2)}^{2 + 1}}$

Schritt 10.3.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{2 \ln^{2} (2) - 4 \ln (2) + 2}{\ln^{3} (2)}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2 \ln^{2} (2) - 4 \ln (2) + 2}{\ln^{3} (2)}$

Dezimalform:

$0.56547557 \dots$

Schritt 12