Analysis Beispiele

$\int \frac{2 x + 1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Schritt 1

Zerlege den Bruch $\frac{2 x + 1}{9 + 16 x^{2}}$ in zwei Brüche.

$\int \frac{2 x}{9 + 16 x^{2}} + \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{2 x}{9 + 16 x^{2}} d x + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{x}{9 + 16 x^{2}} d x + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Schritt 4

Sei $u = 9 + 16 x^{2}$ . Dann ist $d u = 32 x d x$ , folglich $\frac{1}{32} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 9 + 16 x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $9 + 16 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [9 + 16 x^{2}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 + 16 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

Schritt 4.1.2.2

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x^{2}$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 16 (2 x)$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$0 + 32 x$

Schritt 4.1.4

Addiere $0$ und $32 x$ .

$32 x$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{32} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{32}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 32} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Schritt 5.2

Bringe $32$ auf die linke Seite von $u$ .

$2 \int \frac{1}{32 u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Schritt 6

Da $\frac{1}{32}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{32}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{32} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{32}$ und $2$ .

$\frac{2}{32} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $32$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{32} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Schritt 7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $32$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 16} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Schritt 7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 16} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Schritt 7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{16} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Schritt 9

Faktorisiere $16$ aus $9 + 16 x^{2}$ heraus.

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Schritt 9.1

Faktorisiere $16$ aus $9$ heraus.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{16 (\frac{9}{16}) + 16 x^{2}} d x$

Schritt 9.2

Faktorisiere $16$ aus $16 x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{16 (\frac{9}{16}) + 16 (x^{2})} d x$

Schritt 9.3

Faktorisiere $16$ aus $16 (\frac{9}{16}) + 16 (x^{2})$ heraus.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{16 (\frac{9}{16} + x^{2})} d x$

Schritt 10

Da $\frac{1}{16}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{16}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} \int \frac{1}{\frac{9}{16} + x^{2}} d x$

Schritt 11

Schreibe $\frac{9}{16}$ als ${(\frac{3}{4})}^{2}$ um.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} \int \frac{1}{{(\frac{3}{4})}^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 12

Das Integral von $\frac{1}{{(\frac{3}{4})}^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\frac{1}{\frac{3}{4}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{1}{\frac{3}{4}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C)$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Vereinfache.

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Schritt 13.1.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{3}{4}$ zu dividieren.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (1 (\frac{4}{3}) \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C)$

Schritt 13.1.2

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C)$

Schritt 13.1.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{3}{4}$ zu dividieren.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (x \frac{4}{3}) + C)$

Schritt 13.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{4}{3}$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (\frac{x \cdot 4}{3}) + C)$

Schritt 13.1.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (\frac{4 \cdot x}{3}) + C)$

Schritt 13.1.6

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $\arctan (\frac{4 x}{3})$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4 \arctan (\frac{4 x}{3})}{3} + C)$

Schritt 13.2

Vereinfache.

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{1}{16} \cdot \frac{4}{3} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Schritt 13.3

Vereinfache.

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Schritt 13.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{16}$ mit $\frac{4}{3}$ .

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4}{16 \cdot 3} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Schritt 13.3.2

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4}{48} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Schritt 13.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $48$ .

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Schritt 13.3.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4 (1)}{48} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Schritt 13.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.3.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $48$ heraus.

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Schritt 13.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Schritt 13.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{1}{12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $9 + 16 x^{2}$ .

$\frac{1}{16} \ln (| 9 + 16 x^{2} |) + \frac{1}{12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$