Analysis Beispiele

$v = \frac{4}{3} π r^{3}$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$v' = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3})$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d r} v' = \frac{d}{d r} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3}))$

Schritt 3

Die Ableitung von $v'$ nach $r$ ist $v''$ .

$v''$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{π \cdot 4}{3} \cdot r^{3}]$

Schritt 4.1.2

Kombiniere $\frac{π \cdot 4}{3}$ und $r^{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{π \cdot 4 r^{3}}{3}]$

Schritt 4.1.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{4 \cdot π r^{3}}{3}]$

Schritt 4.2

Da $\frac{4 π}{3}$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 π r^{3}}{3}$ nach $r$ gleich $\frac{4 π}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$ .

$\frac{4 π}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{4 π}{3} (3 r^{2})$

Schritt 4.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.4.1

Kombiniere $3$ und $\frac{4 π}{3}$ .

$\frac{3 (4 π)}{3} r^{2}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{12 π}{3} r^{2}$

Schritt 4.4.3

Kombiniere $\frac{12 π}{3}$ und $r^{2}$ .

$\frac{12 π r^{2}}{3}$

Schritt 4.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $3$ .

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Schritt 4.4.4.1

Faktorisiere $3$ aus $12 π r^{2}$ heraus.

$\frac{3 (4 π r^{2})}{3}$

Schritt 4.4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (4 π r^{2})}{3 (1)}$

Schritt 4.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (4 π r^{2})}{3 \cdot 1}$

Schritt 4.4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 π r^{2}}{1}$

Schritt 4.4.4.2.4

Dividiere $4 π r^{2}$ durch $1$ .

$4 π r^{2}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$v'' = 4 π r^{2}$

Schritt 6

Ersetze $v'$ durch $\frac{d v}{d r}$ .

$\frac{d v}{d r} = 4 π r^{2}$