Analysis Beispiele

$f (x) = {(\sqrt{2} - 6 x)}^{5}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int {(\sqrt{2} - 6 x)}^{5} d x$

Schritt 3

Sei $u = \sqrt{2} - 6 x$ . Dann ist $d u = - 6 d x$ , folglich $- \frac{1}{6} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = \sqrt{2} - 6 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $\sqrt{2} - 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2} - 6 x]$

Schritt 3.1.2

Differenziere.

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Schritt 3.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{2} - 6 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 3.1.2.2

Da $\sqrt{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\sqrt{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 3.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Schritt 3.1.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 6 \cdot 1$

Schritt 3.1.3.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$0 - 6$

Schritt 3.1.4

Subtrahiere $6$ von $0$ .

$- 6$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{5} \frac{1}{- 6} d u$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int u^{5} (- \frac{1}{6}) d u$

Schritt 4.2

Kombiniere $u^{5}$ und $\frac{1}{6}$ .

$\int - \frac{u^{5}}{6} d u$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{u^{5}}{6} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{6} \int u^{5} d u)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{5}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$- \frac{1}{6} (\frac{1}{6} u^{6} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Schreibe $- \frac{1}{6} (\frac{1}{6} u^{6} + C)$ als $- \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C$ um.

$- \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{6 \cdot 6} u^{6} + C$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$- \frac{1}{36} u^{6} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $\sqrt{2} - 6 x$ .

$- \frac{1}{36} {(\sqrt{2} - 6 x)}^{6} + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = {(\sqrt{2} - 6 x)}^{5}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{36} {(\sqrt{2} - 6 x)}^{6} + C$