Analysis Beispiele

$y = \sin (4 x - 7)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 4 x - 7$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x - 7$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 7]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x - 7]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x - 7$ .

$\cos (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\cos (4 x - 7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 1.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (4 x - 7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (4 x - 7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\cos (4 x - 7) (4 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 1.2.5

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\cos (4 x - 7) (4 + 0)$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.6.1

Addiere $4$ und $0$ .

$\cos (4 x - 7) \cdot 4$

Schritt 1.2.6.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\cos (4 x - 7)$ .

$f' (x) = 4 \cos (4 x - 7)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \cos (4 x - 7)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 7)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 7)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 4 x - 7$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x - 7$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x - 7$ .

$4 (- \sin (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 (\sin (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$- 4 \sin (4 x - 7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 2.3.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \sin (4 x - 7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 \sin (4 x - 7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- 4 \sin (4 x - 7) (4 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 2.3.6

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 4 \sin (4 x - 7) (4 + 0)$

Schritt 2.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.7.1

Addiere $4$ und $0$ .

$- 4 \sin (4 x - 7) \cdot 4$

Schritt 2.3.7.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = - 16 \sin (4 x - 7)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16 \sin (4 x - 7)$ nach $x$ gleich $- 16 \frac{d}{d x} [\sin (4 x - 7)]$ .

$- 16 \frac{d}{d x} [\sin (4 x - 7)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 4 x - 7$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x - 7$ .

$- 16 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$- 16 (\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x - 7$ .

$- 16 (\cos (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$- 16 \cos (4 x - 7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 3.3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 16 \cos (4 x - 7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 16 \cos (4 x - 7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- 16 \cos (4 x - 7) (4 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 3.3.5

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 16 \cos (4 x - 7) (4 + 0)$

Schritt 3.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.6.1

Addiere $4$ und $0$ .

$- 16 \cos (4 x - 7) \cdot 4$

Schritt 3.3.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 16$ .

$f''' (x) = - 64 \cos (4 x - 7)$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Da $- 64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 64 \cos (4 x - 7)$ nach $x$ gleich $- 64 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 7)]$ .

$- 64 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 7)]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 4 x - 7$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x - 7$ .

$- 64 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Schritt 4.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- 64 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x - 7$ .

$- 64 (- \sin (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Schritt 4.3

Differenziere.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 64$ .

$64 (\sin (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Schritt 4.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$64 \sin (4 x - 7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 4.3.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$64 \sin (4 x - 7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 4.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$64 \sin (4 x - 7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$64 \sin (4 x - 7) (4 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 4.3.6

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$64 \sin (4 x - 7) (4 + 0)$

Schritt 4.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.7.1

Addiere $4$ und $0$ .

$64 \sin (4 x - 7) \cdot 4$

Schritt 4.3.7.2

Mutltipliziere $4$ mit $64$ .

$f^{4} (x) = 256 \sin (4 x - 7)$