Analysis Beispiele

$(\frac{5}{8} x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{- 1}) d x$

Schritt 1

Schreibe $(\frac{5}{8} x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{- 1}) d x$ als Funktion.

$f (x) = (\frac{5}{8} x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{- 1}) d x$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int (\frac{5}{8} x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{- 1}) d x d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Kombiniere $\frac{5}{8}$ und $x^{4}$ .

$\int (\frac{5 x^{4}}{8} - 3 x^{2} + 2 x^{- 1}) d x d x$

Schritt 4.1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int (\frac{5 x^{4}}{8} - 3 x^{2} + 2 \frac{1}{x}) d x d x$

Schritt 4.1.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x}$ .

$\int (\frac{5 x^{4}}{8} - 3 x^{2} + \frac{2}{x}) d x d x$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (\frac{5 x^{4}}{8} d - 3 x^{2} d + \frac{2}{x} d) x d x$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Kombiniere $\frac{5 x^{4}}{8}$ und $d$ .

$\int (\frac{5 x^{4} d}{8} - 3 x^{2} d + \frac{2}{x} d) x d x$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $d$ .

$\int (\frac{5 x^{4} d}{8} - 3 x^{2} d + \frac{2 d}{x}) x d x$

Schritt 4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{5 x^{4} d}{8} x - 3 x^{2} d x + \frac{2 d}{x} x d x$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Multipliziere $\frac{5 x^{4} d}{8} x$ .

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Schritt 4.5.1.1

Kombiniere $\frac{5 x^{4} d}{8}$ und $x$ .

$\int \frac{5 x^{4} d x}{8} - 3 x^{2} d x + \frac{2 d}{x} x d x$

Schritt 4.5.1.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int \frac{5 d (x^{4} x^{1})}{8} - 3 x^{2} d x + \frac{2 d}{x} x d x$

Schritt 4.5.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{5 d x^{4 + 1}}{8} - 3 x^{2} d x + \frac{2 d}{x} x d x$

Schritt 4.5.1.4

Addiere $4$ und $1$ .

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 x^{2} d x + \frac{2 d}{x} x d x$

Schritt 4.5.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.2.1

Bewege $x$ .

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 (x \cdot x^{2}) d + \frac{2 d}{x} x d x$

Schritt 4.5.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 4.5.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 (x^{1} x^{2}) d + \frac{2 d}{x} x d x$

Schritt 4.5.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 x^{1 + 2} d + \frac{2 d}{x} x d x$

Schritt 4.5.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 x^{3} d + \frac{2 d}{x} x d x$

Schritt 4.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 x^{3} d + \frac{2 d}{x} x d x$

Schritt 4.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 x^{3} d + 2 d d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} d x + \int - 3 x^{3} d d x + \int 2 d d x$

Schritt 6

Da $\frac{5 d}{8}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{5 d}{8}$ aus dem Integral.

$\frac{5 d}{8} \int x^{5} d x + \int - 3 x^{3} d d x + \int 2 d d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{5 d}{8} (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int - 3 x^{3} d d x + \int 2 d d x$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x^{6}$ .

$\frac{5 d}{8} (\frac{x^{6}}{6} + C) + \int - 3 x^{3} d d x + \int 2 d d x$

Schritt 9

Da $- 3 d$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3 d$ aus dem Integral.

$\frac{5 d}{8} (\frac{x^{6}}{6} + C) - 3 d \int x^{3} d x + \int 2 d d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{5 d}{8} (\frac{x^{6}}{6} + C) - 3 d (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 2 d d x$

Schritt 11

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$\frac{5 d}{8} (\frac{x^{6}}{6} + C) - 3 d (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int 2 d d x$

Schritt 12

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{5 d}{8} (\frac{x^{6}}{6} + C) - 3 d (\frac{x^{4}}{4} + C) + 2 d x + C$

Schritt 13

Vereinfache.

$\frac{5 d x^{6}}{48} - \frac{3 d x^{4}}{4} + 2 d x + C$

Schritt 14

Entferne die Klammern.

$\frac{5}{48} d x^{6} - \frac{3}{4} d x^{4} + 2 d x + C$

Schritt 15

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = (\frac{5}{8} x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{- 1}) d x$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{48} d x^{6} - \frac{3}{4} d x^{4} + 2 d x + C$