Analysis Beispiele

$\int {(5 + x)}^{- 5} d x$

Schritt 1

Sei $u = 5 + x$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 5 + x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $5 + x$ .

$\frac{d}{d x} [5 + x]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 1.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{- 5} d u$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 5}$ nach $u$ gleich $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ .

$- \frac{1}{4} u^{- 4} + C$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe $- \frac{1}{4} u^{- 4} + C$ als $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}} + C$ um.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}} + C$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{4}}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{u^{4} \cdot 4} + C$

Schritt 3.2.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $u^{4}$ .

$- \frac{1}{4 u^{4}} + C$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $5 + x$ .

$- \frac{1}{4 {(5 + x)}^{4}} + C$