Analysis Beispiele

$\sin^{2} (x) \cdot \cos (x)$

Schritt 1

Schreibe $\sin^{2} (x) \cdot \cos (x)$ als Funktion.

$f (x) = \sin^{2} (x) \cdot \cos (x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sin^{2} (x) \cdot \cos (x) d x$

Schritt 4

Sei $u = \sin (x)$ . Dann ist $d u = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{2} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{1}{3} \sin^{3} (x) + C$

Schritt 7

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sin^{2} (x) \cdot \cos (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} \sin^{3} (x) + C$