Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{x - 1}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x - 1}$ als ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Schreibe $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ als ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Schritt 4.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Schritt 4.1.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}}]$

Schritt 4.1.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ und $g (x) = x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4.7

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4.7.2

Kombiniere ${(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{{(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4.7.3

Bringe ${(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (1 + 0)$

Schritt 4.11

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 1$

Schritt 4.11.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$