Analysis Beispiele

$y = \frac{4 x^{2} - 16}{x - 2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 4 x^{2} - 16$ und $g (x) = x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 16] - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} - 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x - 2) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x - 2) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{(x - 2) (8 x + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x - 2) (8 x + 0) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.6.1

Addiere $8 x$ und $0$ .

$\frac{(x - 2) (8 x) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.2.6.2

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x - 2$ .

$\frac{8 \cdot (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.2.9

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.2.10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(8 x + 8 \cdot - 2) x - (4 x^{2} - 16)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 x \cdot x + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2} - 16)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 x \cdot x + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{8 (x \cdot x) + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{8 x^{2} + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 2$ .

$\frac{8 x^{2} - 16 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 16 x - 4 x^{2} - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 16$ .

$\frac{8 x^{2} - 16 x - 4 x^{2} + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.2

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $8 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 16 x + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.5.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} - 16 x + 16$ heraus.

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Schritt 1.3.5.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{4 (x^{2}) - 16 x + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.5.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 16 x$ heraus.

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 4 x) + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.5.1.3

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.5.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} + 4 (- 4 x)$ heraus.

$\frac{4 (x^{2} - 4 x) + 4 \cdot 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.5.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2} - 4 x) + 4 \cdot 4$ heraus.

$\frac{4 (x^{2} - 4 x + 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.5.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.3.5.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{4 (x^{2} - 4 x + 2^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.5.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 1.3.5.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{4 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.5.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x - 2)}^{2}$ .

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Schritt 1.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$f' (x) = 4$

Schritt 2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0$