Analysis Beispiele

$\int (2 - \frac{1}{x^{5}} + \frac{7}{x^{3}}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int 2 - \frac{1}{x^{5}} + \frac{7}{x^{3}} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 d x + \int - \frac{1}{x^{5}} d x + \int \frac{7}{x^{3}} d x$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$2 x + C + \int - \frac{1}{x^{5}} d x + \int \frac{7}{x^{3}} d x$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 x + C - \int \frac{1}{x^{5}} d x + \int \frac{7}{x^{3}} d x$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Bringe $x^{5}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$2 x + C - \int {(x^{5})}^{- 1} d x + \int \frac{7}{x^{3}} d x$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x + C - \int x^{5 \cdot - 1} d x + \int \frac{7}{x^{3}} d x$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$2 x + C - \int x^{- 5} d x + \int \frac{7}{x^{3}} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 5}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$2 x + C - (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C) + \int \frac{7}{x^{3}} d x$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $x^{- 4}$ und $\frac{1}{4}$ .

$2 x + C - (- \frac{x^{- 4}}{4} + C) + \int \frac{7}{x^{3}} d x$

Schritt 7.2

Bringe $x^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x + C - (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \int \frac{7}{x^{3}} d x$

Schritt 8

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$2 x + C - (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + 7 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 9

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 9.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$2 x + C - (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + 7 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 9.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 9.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x + C - (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + 7 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 x + C - (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + 7 \int x^{- 3} d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$2 x + C - (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + 7 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

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Schritt 11.1.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 x + C - (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + 7 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Schritt 11.1.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x + C - (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + 7 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Schritt 11.2

Vereinfache.

$2 x + \frac{1}{4 x^{4}} + 7 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Schritt 11.3

Vereinfache.

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Schritt 11.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$2 x + \frac{1}{4 x^{4}} - 7 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Schritt 11.3.2

Kombiniere $- 7$ und $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$2 x + \frac{1}{4 x^{4}} + \frac{- 7}{2 x^{2}} + C$

Schritt 11.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 x + \frac{1}{4 x^{4}} - \frac{7}{2 x^{2}} + C$