Analysis Beispiele

$y = \frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $y = \frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x^{2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x^{2}} d x$

Schritt 4

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (3 x^{3} - 7 x^{2} + 4) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 x^{3} - 7 x^{2} + 4) x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int (3 x^{3} - 7 x^{2} + 4) x^{- 2} d x$

Schritt 6

Multipliziere $(3 x^{3} - 7 x^{2} + 4) x^{- 2}$ aus.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (3 x^{3} - 7 x^{2}) x^{- 2} + 4 x^{- 2} d x$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 3 x^{3} x^{- 2} - 7 x^{2} x^{- 2} + 4 x^{- 2} d x$

Schritt 6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 3 x^{3 - 2} - 7 x^{2} x^{- 2} + 4 x^{- 2} d x$

Schritt 6.4

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\int 3 x^{1} - 7 x^{2} x^{- 2} + 4 x^{- 2} d x$

Schritt 6.5

Vereinfache.

$\int 3 x - 7 x^{2} x^{- 2} + 4 x^{- 2} d x$

Schritt 6.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 3 x - 7 x^{2 - 2} + 4 x^{- 2} d x$

Schritt 6.7

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\int 3 x - 7 x^{0} + 4 x^{- 2} d x$

Schritt 6.8

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\int 3 x - 7 \cdot 1 + 4 x^{- 2} d x$

Schritt 6.9

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$\int 3 x - 7 + 4 x^{- 2} d x$

Schritt 6.10

Bewege $- 7$ .

$\int 3 x + 4 x^{- 2} - 7 d x$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 3 x d x + \int 4 x^{- 2} d x + \int - 7 d x$

Schritt 8

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int x d x + \int 4 x^{- 2} d x + \int - 7 d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 4 x^{- 2} d x + \int - 7 d x$

Schritt 10

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 \int x^{- 2} d x + \int - 7 d x$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (- x^{- 1} + C) + \int - 7 d x$

Schritt 12

Wende die Konstantenregel an.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - 7 x + C$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - 7 x + C$

Schritt 13.2

Vereinfache.

$\frac{3 x^{2}}{2} - \frac{4}{x} - 7 x + C$

Schritt 13.3

Stelle die Terme um.

$\frac{3}{2} x^{2} - \frac{4}{x} - 7 x + C$

Schritt 14

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - \frac{4}{x} - 7 x + C$