Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2}{x^{4} - 16}$ on interval $(- 2, 2)$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1.1.1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x^{4} - 16}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$

Schritt 1.1.1.1.2

Schreibe $\frac{1}{x^{4} - 16}$ als ${(x^{4} - 16)}^{- 1}$ um.

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 16)}^{- 1}]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{4} - 16$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4} - 16$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Schritt 1.1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4} - 16$ .

$2 (- {(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 ({(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Schritt 1.1.1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

Schritt 1.1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])$

Schritt 1.1.1.3.4

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + 0)$

Schritt 1.1.1.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.3.5.1

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3})$

Schritt 1.1.1.3.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$- 8 {(x^{4} - 16)}^{- 2} x^{3}$

Schritt 1.1.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Schritt 1.1.1.5

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.1.5.1

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Schritt 1.1.1.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Schritt 1.1.1.5.3

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.5.4

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$f' (x) = - \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$8 x^{3} = 0$

Schritt 1.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $8 x^{3} = 0$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $8 x^{3} = 0$ durch $8$ .

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

Schritt 1.2.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 1.2.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

Schritt 1.2.3.1.2.1.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{8}$

Schritt 1.2.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $8$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 1.2.3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 1.2.3.3.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 1.2.3.3.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Setze den Nenner in $\frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x^{4} - 16)}^{2} = 0$

Schritt 1.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.2.1.1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

${({(x^{2})}^{2} - 16)}^{2} = 0$

Schritt 1.3.2.1.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

${({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

Schritt 1.3.2.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 4$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{2} = 0$

Schritt 1.3.2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.3.2.1.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{2} = 0$

Schritt 1.3.2.1.4.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.3.2.1.4.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

${((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)))}^{2} = 0$

Schritt 1.3.2.1.4.2.2

Entferne unnötige Klammern.

${((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Schritt 1.3.2.1.5

Wende die Produktregel auf $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ an.

${((x^{2} + 4) (x + 2))}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 1.3.2.1.6

Wende die Produktregel auf $(x^{2} + 4) (x + 2)$ an.

${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 1.3.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 1.3.2.3

Setze ${(x^{2} + 4)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.2.3.1

Setze ${(x^{2} + 4)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Schritt 1.3.2.3.2

Löse ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.2.3.2.1

Setze $x^{2} + 4$ gleich $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Schritt 1.3.2.3.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.2.3.2.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 4$

Schritt 1.3.2.3.2.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Schritt 1.3.2.3.2.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Schritt 1.3.2.3.2.2.3.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Schritt 1.3.2.3.2.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Schritt 1.3.2.3.2.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Schritt 1.3.2.3.2.2.3.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Schritt 1.3.2.3.2.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 2$

Schritt 1.3.2.3.2.2.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 2 i$

Schritt 1.3.2.3.2.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.3.2.3.2.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 i$

Schritt 1.3.2.3.2.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 i$

Schritt 1.3.2.3.2.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 i, - 2 i$

Schritt 1.3.2.4

Setze ${(x + 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.2.4.1

Setze ${(x + 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Schritt 1.3.2.4.2

Löse ${(x + 2)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.2.4.2.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 1.3.2.4.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 1.3.2.5

Setze ${(x - 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.2.5.1

Setze ${(x - 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 1.3.2.5.2

Löse ${(x - 2)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.2.5.2.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 1.3.2.5.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 1.3.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$

Schritt 1.3.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 2, x = 2$

Schritt 1.4

Werte $\frac{2}{x^{4} - 16}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\frac{2}{{(0)}^{4} - 16}$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2}{0 - 16}$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Subtrahiere $16$ von $0$ .

$\frac{2}{- 16}$

Schritt 1.4.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $- 16$ .

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Schritt 1.4.1.2.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{- 16}$

Schritt 1.4.1.2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.1.2.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 16$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 8}$

Schritt 1.4.1.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 8}$

Schritt 1.4.1.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- 8}$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{8}$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = - 2$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $- 2$ .

$\frac{2}{{(- 2)}^{4} - 16}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$\frac{2}{16 - 16}$

Schritt 1.4.2.2.2

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$\frac{2}{0}$

Schritt 1.4.2.2.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 1.4.3

Berechne bei $x = 2$ .

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Schritt 1.4.3.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

$\frac{2}{{(2)}^{4} - 16}$

Schritt 1.4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.3.2.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{2}{16 - 16}$

Schritt 1.4.3.2.2

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$\frac{2}{0}$

Schritt 1.4.3.2.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 1.4.4

Liste all Punkte auf.

$(0, - \frac{1}{8})$

Schritt 2

Verwende den Test ersten Ableitung um zu ermitteln, welche Punkte ein Maximum oder ein Minimum sein können.

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Schritt 2.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 2.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 4$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 2.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 {(- 4)}^{3}}{{({(- 4)}^{4} - 16)}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.2.1

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{{({(- 4)}^{4} - 16)}^{2}}$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.2.2.1

Potenziere $- 4$ mit $4$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{{(256 - 16)}^{2}}$

Schritt 2.2.2.2.2

Subtrahiere $16$ von $256$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{240^{2}}$

Schritt 2.2.2.2.3

Potenziere $240$ mit $2$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{57600}$

Schritt 2.2.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 64$ .

$f' (- 4) = - \frac{- 512}{57600}$

Schritt 2.2.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 512$ und $57600$ .

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Schritt 2.2.2.3.2.1

Faktorisiere $256$ aus $- 512$ heraus.

$f' (- 4) = - \frac{256 (- 2)}{57600}$

Schritt 2.2.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.3.2.2.1

Faktorisiere $256$ aus $57600$ heraus.

$f' (- 4) = - \frac{256 \cdot - 2}{256 \cdot 225}$

Schritt 2.2.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- 4) = - \frac{256 \cdot - 2}{256 \cdot 225}$

Schritt 2.2.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (- 4) = - \frac{- 2}{225}$

Schritt 2.2.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 4) = \frac{2}{225}$

Schritt 2.2.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{2}{225}$ .

$\frac{2}{225}$

Schritt 2.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $1$ , aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die erste Ableitung $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 2.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = - \frac{8 {(1)}^{3}}{{({(1)}^{4} - 16)}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.3.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{{(1^{4} - 16)}^{2}}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{{(1 - 16)}^{2}}$

Schritt 2.3.2.2.2

Subtrahiere $16$ von $1$ .

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{{(- 15)}^{2}}$

Schritt 2.3.2.2.3

Potenziere $- 15$ mit $2$ .

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{225}$

Schritt 2.3.2.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$f' (1) = - \frac{8}{225}$

Schritt 2.3.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{8}{225}$ .

$- \frac{8}{225}$

Schritt 2.4

Da die erste Ableitung um $x = 0$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 0$ ein lokales Maximum.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(0, - \frac{1}{8})$

Kein absolutes Minimum

Schritt 4