Analysis Beispiele

Ermittle die Wendepunkte 2/15x^6-3x^4
Schritt 1
Schreibe als Funktion.
Schritt 2
Bestimme die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.1.2
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.1.2.3
Kombiniere und .
Schritt 2.1.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.2.5
Kombiniere und .
Schritt 2.1.2.6
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.2.6.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.1.2.6.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.2.6.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.1.2.6.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.1.2.6.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.1.3
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2
Bestimme die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.2.2
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.2.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.2.2.3
Kombiniere und .
Schritt 2.2.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.5
Kombiniere und .
Schritt 2.2.2.6
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.6.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2.2.6.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.6.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2.2.6.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.2.2.6.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.2.2.6.2.4
Dividiere durch .
Schritt 2.2.3
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.2.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.2.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3
Die zweite Ableitung von nach ist .
Schritt 3
Setze die zweite Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1
Setze die zweite Ableitung gleich .
Schritt 3.2
Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.1
Schreibe als um.
Schritt 3.2.2
Es sei . Ersetze für alle .
Schritt 3.2.3
Faktorisiere aus heraus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.2.3.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.2.3.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.2.4
Ersetze alle durch .
Schritt 3.3
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 3.4
Setze gleich und löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.4.1
Setze gleich .
Schritt 3.4.2
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.4.2.1
Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
Schritt 3.4.2.2
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.4.2.2.1
Schreibe als um.
Schritt 3.4.2.2.2
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 3.4.2.2.3
Plus oder Minus ist .
Schritt 3.5
Setze gleich und löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.5.1
Setze gleich .
Schritt 3.5.2
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.5.2.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 3.5.2.2
Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
Schritt 3.5.2.3
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.5.2.3.1
Schreibe als um.
Schritt 3.5.2.3.2
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 3.5.2.4
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.5.2.4.1
Verwende zunächst den positiven Wert des , um die erste Lösung zu finden.
Schritt 3.5.2.4.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von , um die zweite Lösung zu finden.
Schritt 3.5.2.4.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 3.6
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 4
Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1
Ersetze in , um den Wert von zu ermitteln.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 4.1.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.2.1.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 4.1.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.2.1.3
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 4.1.2.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.2.2
Addiere und .
Schritt 4.1.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 4.2
Der Punkt, der durch Einsetzen von in ermittelt werden kann, ist . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.
Schritt 4.3
Ersetze in , um den Wert von zu ermitteln.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 4.3.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 4.3.2.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.3.2.1.2.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.3.2.1.2.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.2.1.2.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.3.2.1.3
Kombiniere und .
Schritt 4.3.2.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.2.1.5
Potenziere mit .
Schritt 4.3.2.1.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.2.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 4.3.2.3
Kombiniere und .
Schritt 4.3.2.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.3.2.5
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.2.5.2
Subtrahiere von .
Schritt 4.3.2.6
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 4.3.2.7
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 4.4
Der Punkt, der durch Einsetzen von in ermittelt werden kann, ist . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.
Schritt 4.5
Ersetze in , um den Wert von zu ermitteln.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.5.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 4.5.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.5.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.5.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 4.5.2.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.5.2.1.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.5.2.1.2.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.5.2.1.2.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.5.2.1.2.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.5.2.1.3
Kombiniere und .
Schritt 4.5.2.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.5.2.1.5
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.5.2.1.5.1
Mutltipliziere mit .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.5.2.1.5.1.1
Potenziere mit .
Schritt 4.5.2.1.5.1.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 4.5.2.1.5.2
Addiere und .
Schritt 4.5.2.1.6
Potenziere mit .
Schritt 4.5.2.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 4.5.2.3
Kombiniere und .
Schritt 4.5.2.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.5.2.5
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.5.2.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.5.2.5.2
Subtrahiere von .
Schritt 4.5.2.6
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 4.5.2.7
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 4.6
Der Punkt, der durch Einsetzen von in ermittelt werden kann, ist . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.
Schritt 4.7
Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.
Schritt 5
Teile in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.
Schritt 6
Setze einen Wert aus dem Intervall in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 6.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 6.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.1.3
Potenziere mit .
Schritt 6.2.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 6.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 6.3
Bei ist die zweite Ableitung . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall .
Ansteigend im Intervall , da
Ansteigend im Intervall , da
Schritt 7
Setze einen Wert aus dem Intervall in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 7.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.2.1.1
Wende die Exponentenregel an, um den Exponenten zu verteilen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.2.1.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 7.2.1.1.2
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 7.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 7.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2.1.4
Potenziere mit .
Schritt 7.2.1.5
Potenziere mit .
Schritt 7.2.1.6
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.2.1.6.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 7.2.1.6.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 7.2.1.6.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 7.2.1.7
Wende die Exponentenregel an, um den Exponenten zu verteilen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.2.1.7.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 7.2.1.7.2
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 7.2.1.8
Potenziere mit .
Schritt 7.2.1.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2.1.10
Potenziere mit .
Schritt 7.2.1.11
Potenziere mit .
Schritt 7.2.1.12
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.2.1.12.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 7.2.1.12.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 7.2.1.12.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 7.2.1.13
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 7.2.3
Kombiniere und .
Schritt 7.2.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 7.2.5
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.2.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2.5.2
Subtrahiere von .
Schritt 7.2.6
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 7.2.7
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 7.3
Bei , die zweite Ableitung ist . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall
Abfallend im Intervall da
Abfallend im Intervall da
Schritt 8
Setze einen Wert aus dem Intervall in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 8.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.2.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 8.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 8.2.1.3
Potenziere mit .
Schritt 8.2.1.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.2.1.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 8.2.1.4.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 8.2.1.4.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 8.2.1.5
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 8.2.1.6
Potenziere mit .
Schritt 8.2.1.7
Potenziere mit .
Schritt 8.2.1.8
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.2.1.8.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 8.2.1.8.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 8.2.1.8.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 8.2.1.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.2.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 8.2.3
Kombiniere und .
Schritt 8.2.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 8.2.5
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.2.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.2.5.2
Subtrahiere von .
Schritt 8.2.6
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 8.2.7
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 8.3
Bei , die zweite Ableitung ist . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall
Abfallend im Intervall da
Abfallend im Intervall da
Schritt 9
Setze einen Wert aus dem Intervall in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 9.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 9.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.2.1.3
Potenziere mit .
Schritt 9.2.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 9.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 9.3
Bei ist die zweite Ableitung . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall .
Ansteigend im Intervall , da
Ansteigend im Intervall , da
Schritt 10
Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte .
Schritt 11