Analysis Beispiele

$x^{2} \cdot e^{x^{3} + 1}$

Schritt 1

Schreibe $x^{2} \cdot e^{x^{3} + 1}$ als Funktion.

$f (x) = x^{2} \cdot e^{x^{3} + 1}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x^{2} \cdot e^{x^{3} + 1} d x$

Schritt 4

Sei $u = x^{3} + 1$ . Dann ist $d u = 3 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = x^{3} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Schritt 4.1.5

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$3 x^{2}$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Schritt 5

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{e^{u}}{3} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Schritt 7

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

$\frac{1}{3} e^{u} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $x^{3} + 1$ .

$\frac{1}{3} e^{x^{3} + 1} + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x^{2} \cdot e^{x^{3} + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} e^{x^{3} + 1} + C$