Analysis Beispiele

$y = \ln (4 x^{2} + b)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 4 x^{2} + b$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x^{2} + b$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{2} + b]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + b]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x^{2} + b$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + b} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + b]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} + b$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [b]$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + b} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [b])$

Schritt 2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + b} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + b} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [b])$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + b} (8 x + \frac{d}{d x} [b])$

Schritt 2.5

Da $b$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $b$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + b} (8 x + 0)$

Schritt 2.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.6.1

Addiere $8 x$ und $0$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + b} (8 x)$

Schritt 2.6.2

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{4 x^{2} + b}$ .

$\frac{8}{4 x^{2} + b} x$

Schritt 2.6.3

Kombiniere $\frac{8}{4 x^{2} + b}$ und $x$ .

$\frac{8 x}{4 x^{2} + b}$